Интервальные оценки генеральной доли или вероятности р

Пусть в n независимых испытаний некоторое событие А, вероятность появления которого в каждом испытании равна р, наступило m раз, где .

В качестве основы интервальной оценки генеральной доли используется точечная оценка вероятности – частость m/n. При этом правила построения доверительного интервала для генеральной доли зависят от объема используемой при оценивании выборки.

1. Доверительный интервал для Р при достаточно больших n (n>30).

Интервал строится симметричным относительно частости m/n в соответствии со статистикой (2.34), которая при  асимптотически стремится к стандартному нормальному закону N(0;1), и свойство стандартной нормальной случайной величины  (1.49), после преобразования:

,

где  – значение нормированной нормальной случайной величины, соответствующее надежности у:  (Ф(t) – интегральная функция Лапласа, табл. 1 Приложений).

Из (2.34) следует, что для нахождения интервальной оценки надо решить относительно Р неравенства . На практике часто для упрощения расчетов ограничиваются заменой  ее оценкой .

Тогда .

Построение доверительного интервала с заданной надежностью y для генерального доли или вероятности р при достаточно больших объемах выборки (n>30) осуществляется по формуле:

,                                          (2.43)

где точность оценки вероятности:

,

где  – значение стандартной нормальной случайной величины, соответствующее надежности у: .

Если задан доверительный интервал для оценки генеральной доли или вероятности   при большом объеме выборки, то надежность попадания р в заданный интервал определяется из условия:

.

На основе значений границ доверительного интервала определим соответствующие значения :

;

                                                                                                     (2.44)

; .

Пример 9.13. При проведении анализа эффективности рекламы, размещенной в Internet, была организована случайная выборка, объем которой составил 500 человек. В результате проведенного опроса выяснилось, что для 200 человек источником информации послужили объявления, размещенные в Internet. В предположении о биномиальном законе распределения:

а) определить с надежностью у = 0,95 верхнюю границу вероятности того, что один случайно отобранный покупатель воспользовался рекламой в Internet;

б) найти доверительную вероятность того, что использование рекламы в Internet будет находиться в интервале (0,35; 0,50).

Решение.

А. Так как объем выборки достаточно велик, то при построении доверительного интервала для генеральной доли будем исходить из (2.43).

Для заданной надежности у определим значение  по таблицам функции Лапласа: , откуда верхняя граница доверительного интервала вероятности:

Б. На основе значений границ заданного доверительного интервала , определим соответствующие значения :

;

.

Откуда, по таблицам функции Лапласа (табл. 1 Приложений):

;

.

Доверительная вероятность заданного интервального оценивания генеральной доли  равна:

2. Доверительный интервал для Р при малых п строят, исходя из биномиального закона распределения, приняв , где  — вероятность того, что в п испытаниях событие А появится m раз; ; р — вероятность появления события A; q=1-р.

Границы доверительного интервала для генеральной доли определяются на основе уравнений: , , которые решаются приближенно.

Основные формулы интервальных оценок сведены в табл. 2.4.