Слабо вынужденные квазилинейные осцилляторы

Мы подробно рассмотрели автономные автогенераторы. Теперь исследуем

случай, когда такая система подвержена слабому внешнему воздействию. В качестве примера мы

Возьмите часы, маятник которых сделан из магнитного материала, и поместите их поблизости

Электромагнита, питаемого переменным током. Тогда автоколебание

Часов возмущается слабым периодическим магнитным полем. В качестве альтернативы мы можем

Вибрируйте балку, которая подвешивает часы, или периодически пинайте маятник.

Для простоты изложения мы начнем со случая, когда осциллятор является квазипространственным.

линейный, x (t) = A sin (ω 0 t + φ 0), с частотой ω 0 и амплитудой A, и действие

гармоника с частотой ω, т. е. внешняясилаизменяетсякак ε cos (ω t + ¯ φ e), где

φ e (t) = ω t + ¯ φ e - фаза силы, а ε - ееамплитуда. Важно, чтобы

частота силы ω обычноотличаетсяотчастотыосциллятора ω 0, последний

называется собственной частотой. Разница частот ω - ω 0 равна

Называется отстройкой.

Каковы последствия этого слабого внешнего воздействия? В общем, мы можем

Ожидайте, что внешняя сила пытается изменить амплитуду, а также фазу

Колебание. Однако, как уже обсуждалось в разделе 2.2, амплитуда стабильна,

тогда как фаза нейтральна (она не стабильна и не нестабильна). Поэтому слабая сила

может влиять только на фазу, но не на амплитуду (см. рис. 2.3b). Следовательно, мы можем в основном

Сконцентрируйтесь на фазовой динамике.

Мы подчеркиваем здесь, что мы придерживаемся определения фазы в том виде, в котором она была введена.

Для автономного ненагруженного осциллятора. Мы не переопределяем фазу, когда

Применяется форсирование. Связь между фазой и положением в предельном цикле

остается (см. рис. 2.5). Следовательно, под действием внешней силы эта фаза обычно не

Вращаются равномерно, но более сложным образом.

3.1.1

Автономный осциллятор и сила в

Вращающаяся система отсчета

В этом разделе мы рассматриваем квазилинейный осциллятор. Как уже было описано, его предельный цикл

представляет собой окружность, фазовая точка вращается вокруг нее равномерно с угловой скоростью ω 0. это

Удобно изучать фазовую динамику вынужденной системы в новой системе отсчета

Который вращается в том же направлении (пусть будет против часовой стрелки) с частотой

внешняя сила ω.

В качестве первого шага мы покажем, как автономный осциллятор появляется в новых координатах.

Натуральная рамка. Это означает, что мы предполагаем на данный момент, что сила имеет нулевую амплитуду

(ε = 0). Очевидно, чтовзависимостиотсоотношениямежду ω и ω 0 точка в новом

Стр.69

Слабо вынужденные квазилинейные осцилляторы

47

рама либо продолжает вращаться против часовой стрелки (при ω 0 > ω), либоостаетсянеподвижной

(при ω 0 = ω) иливращаетсявпротивоположномнаправлении (при ω 0 < ω), какпоказанонарис. 3.1.

Положение точки можно охарактеризовать разностью фаз φ - φ e, которая

возрастает с постоянной скоростью ω 0 - ω, остаетсяпостояннойилиубываетс

скорость ω 0 - ω. Посколькумывсеещепредполагаем, чтосилаимеетнулевуюамплитуду, кажется, что

бессмысленно вводить величину φ - φ e. Тем не менее, мы помним, что когда

мы «включаем» силу, нас всегда интересует разность фаз φ - φ e.

Напомним теперь аналогию фазовой динамики с движением легкой частицы

В вязкой жидкости; эта аналогия была введена в разделе 2.2.2 и будет очень

полезно в следующем. В отсутствие отстройки ω 0 = ω фазоваяточкав

Вращающаяся рамка покоится, и мы можем изобразить это как частицу на горизонтальной плоскости (см.

Рис. 2.4c). Равномерное увеличение или уменьшение разности фаз φ - φ e в

случай ненулевой отстройки, т. е. ω 0 = ω, можнопредставитьввидечастицы, скользящейвниз

По наклонной плоскости; 1 в этом контексте обычно говорят о движении частицы

в наклонном потенциале. Эта частица изображена на рис. 3.2а для случая ω 0 > ω; д ля

При отстройке с противоположным знаком плоскость наклонена так, что разность фаз

φ - φ e убывает со временем.

При постоянном воздействии такая частица движется с постоянной скоростью.

φ - φ e

φ - φ e

φ - φ e

> ω

ω = ω

0

ω 0 < ω

ω 0

ω 0

ω 0

- ω

а)

(б)

(c)

- ω

Рисунок 3.1. В системе отсчета, вращающейся с ω, колебаниепредельногоцикла

соответствует вращающейся (a и c) или точке покоя (b), в зависимости от

отстройка ω 0 - ω. Положениеточкихарактеризуетсяугловойпеременной

φ - φ e, которая увеличивается (а), постоянна (б) или уменьшается (в).

Время

е

(б)

а)

φ - φ e

φ - φ

Рисунок 3.2. (а) Частица, скользящая с постоянной скоростью по наклонной плоскости.