Поведение траекторий в окрестности цикла. Другими словами, мы смотрим на

Что произойдет, если фазовая точка отодвинется от предельного цикла. Для оригинального физического

(или механической, биологической и т. д.) системы, это означало бы, что мы каким-то образом нарушаем ее

периодическое движение. Здесь мы подошли к важной особенности автогенераторов:

После возмущения их колебания восстанавливается первоначальный ритм, т. е. фаза

Количество требуемых переменных зависит от конкретной динамической системы и называется ее

Измерение.

Икс

Икс

y

Время

1

2

3

3

3

2

2

1

1

Рисунок 2.1. Периодическое колебание изображается замкнутой кривой в фазовом пространстве

системы: эквивалентные состояния x (t) и x (t + T) (обозначаются числом на времени

Plot) соответствуют одной и той же точке на этой кривой (обозначены тем же номером). На

Наоборот, состояния с одинаковыми x (t) будут разными, если мы возьмем вторую

Координировать.

Стр.52

30

Основные понятия

Точка возвращается к предельному циклу. Это свойство также означает, что эти колебания

Не зависят от начальных условий (по крайней мере, в некотором диапазоне) или от того, как система

Изначально был приведен в движение. В представлении фазовой плоскости это соответствует

размещение начальной фазовой точки где-нибудь на плоскости. Из рис. 2.2 видно, что все

Траектории стремятся к циклу. Следовательно, по прошествии некоторого переходного времени система выполняет

Установившиеся колебания, соответствующие движению фазовой точки по пределу

Цикл. 4

Причина, по которой мы отличаем эту кривую от всех других, заключается в том, что она притягивает фазу.

Траектории 5 и поэтому называется аттрактором динамической системы. Лимит

Цикл - простой аттрактор, в отличие от понятия странного (хаотического) аттрактора,

Чтобы встретиться позже. 6

Таким образом, автоколебания можно описать их изображением в фазе

пробел - по предельному циклу. Форма цикла, а значит, и форма колебаний:

Полностью определяется внутренними параметрами системы. Если это колебание близко

По форме к синусоиде, то осциллятор называется квазилинейным (квазигармоническим). В

В этом случае предельный цикл можно представить в виде круга. Сильно нелинейные системы могут

Проявлять колебания сложной формы; ниже мы анализируем соответствующие

Примеры.

4 Строго говоря, предельный цикл может быть непланарным, так что, как правило, многомерная фаза

Требуется место для описания периодических колебаний. Тем не менее, очень часто это пространство

Сводится к фазовой плоскости, т. е. достаточно двух переменных. Анализ переходного

Поведение, т. е. начало или возмущение движения предельного цикла, может включать в себя многие, даже

Бесконечно много переменных. В качестве основных свойств автоколебаний можно

Адекватно проиллюстрированный в двух измерениях, мы ограничимся здесь этим случаем.

По крайней мере, из какого-то района.

6 Система может иметь более одного аттрактора, имеющего свои собственные бассейны притяжения, например, несколько

Предельные циклы, или предельный цикл и точка устойчивого равновесия. Различные бассейны притяжения

Разделенные отталкивающими наборами (кривыми или поверхностями) или репеллерами.

y

Икс

Икс

а)

(б)

Время

Рисунок 2.2. (а) Замкнутая кривая (жирная кривая) на фазовой плоскости притягивает все

Траектории из его окрестности, и поэтому называется предельным циклом. Тоже самое

траектории показаны на (b) в виде графика времени.

Стр. 53

Фаза: определение и свойства

Год

2.2

Фаза: определение и свойства

Понятие фазы играет ключевую роль в теории синхронизации; мы поэтому

Обсудим это подробно. Начнем с простого случая квазилинейных осцилляторов, для которых

понятие фазы (и амплитуды) можно легко проиллюстрировать. Этот пример объясняет

Общие свойства фазы, не зависящие от формы предельного цикла.

Мы завершаем этот раздел демонстрацией того, как можно определить фазу для

Произвольный цикл.

2.2.1

Фаза и амплитуда квазилинейного осциллятора.

Предельный цикл квазилинейного осциллятора представляет собой почти круг, а само колебание

можно принять за синусоиду, x (t) = A sin (ω 0 t + φ 0). Здесь ω 0 обозначает угловую

частота, которая связана с периодом колебаний соотношением ω 0 = 2 π / T и должна быть

отличать от циклической частоты колебаний ф 0 = 1 / T. Интенсивность

колебание определяется его амплитудой A, а величина φ (t) = ω 0 t + φ 0 равна

называется фазой (см. рис. 1.11).