Самая высокая сила в тот момент, когда она проходит через сиденье. Следовательно, если маятник B

должен находиться в положении BD (рис. A1.2), в то время как A находится только в AC, а B должен двигаться

Влево и A вправо точка подвеса A перемещается влево, при этом

Вибрация маятника А ускоряется. Когда B снова прошел

BE, когда A находится в положении AF, подвеска B смещается вправо, и поэтому

Колебание маятника B замедляется. B снова прошел через позицию BD

Когда A находится в AG, при этом подвеска A тянется вправо, и, следовательно,

Вибрация маятника А ускоряется. B снова находится в BK, когда A был

Вернулся в положение AF, при этом подвеска B оттягивается влево, и, следовательно,

Колебание маятника B замедляется. Итак, когда колебание маятника B

Неуклонно замедляется, а А ускоряется, необходимо, чтобы на короткое время

Раз они должны двигаться вместе в противоположных ритмах: в то же время A движется в

Справа и B слева, и наоборот. На данный момент они не могут отказаться от этого

Соглашение, потому что по той же причине они сразу же возвращаются тем же способом.

Подставки, конечно, неподвижны, но если созвучие изначально должно быть ровным

Слегка нарушается, затем восстанавливается при малейшем движении опор. Этот

Движение, конечно, не может быть воспринято, и поэтому неудивительно, что

Причина ошибки.

Стр. Решебника 384

Приложение А2

Мгновенная фаза и частота сигнала

A2.1

Аналитический сигнал и преобразование Гильберта

Последовательный способ определения фазы произвольного сигнала известен в процессе обработки сигналов.

как концепция аналитического сигнала [Panter 1965; Рабинер и Голд 1975; Боашаш

1992; Смит и Мерсеро 1992]. Этот общий подход, основанный на теории Гильберта

преобразование (HT) и первоначально введенное Габором [1946], однозначно дает

Мгновенная фаза и амплитуда сигнала s (t) посредством построения аналитического

сигнал ζ (t), который является сложной функцией времени, определяемой как

ζ (t) = s (t) + есть H (t) = A (t) e i φ (t).

(A2.1)

Здесь функция s H (t) - это HT функции s (t)

s H (t) = π

− 1

PV ∫

∞

−∞

s (τ)

Т - т

d τ,

(A2.2)

Где PV означает, что интеграл берется в смысле главного значения Коши.

Мгновенная амплитуда A (t) и мгновенная фаза φ (t) сигнала s (t)

Таким образом, однозначно определены из (П2.1). Подчеркнем, что HT не имеет параметров.

Отметим также, что для вычисления мгновенных характеристик сигнала требуется его

Знания во всей временной области, т. е. HT нелокален во времени. Тем не менее

Основной вклад в интеграл (П2.2) вносится в окрестности выбранного момента

Время.

Как видно из (П2.2), HT можно рассматривать как свертку

функции s (t) и 1 / π t. Благодаря свойствам свертки преобразование Фурье

S H (ς) из s H (t) является произведением преобразований Фурье s (t) и 1 / π t. Для физически

соответствующие частоты Фурье ς > 0, S H (ς) = - iS (ς). Этоозначает, что HT можетбыть

362

Стр. Решебника 385

A2.2 Примеры

363

Реализуется идеальным фильтром, амплитудная характеристика которого равна единице, а фазовая характеристика -

постоянное запаздывание π / 2 навсехчастотахФурье.

Гармоническое колебание s (t) = A cos ω t часто представляется в комплексной форме

как A cos ω t + i A sin ω t. Это означает, что реальное колебание дополняется

мнимая часть, которая задерживается по фазе на π / 2, котораясвязанас s (t) HT. В

Аналитический сигнал является прямым и естественным продолжением этой техники, поскольку HT выполняет

фазовый сдвиг −π / 2 длякаждойспектральнойкомпоненты s (t).

Хотя формально A (t) и φ (t) можно вычислить для произвольного s (t), они имеют

Ясный физический смысл только в том случае, если s (t) - узкополосный сигнал (см. подробное обсуждение

в [Боашаш 1992]). В этом случае амплитуда A (t) совпадает с огибающей

из й (т), и мгновенной частоты д φ / дт соответствует частоте

Максимум спектра мощности, рассчитанный в текущем окне.

A2.2

Примеры

Проиллюстрируем свойства преобразования Гильберта следующими примерами.

Затухающие колебания

Смоделируем измеряемые сигналы, вычислив свободные колебания линейной

Осциллятор

¨ х + 0,05 х + х = 0

(П2.3)

И нелинейный осциллятор Дуффинга

¨ х + 0,05 х + х + х 3 = 0,

(П2.4)

и вычислить по x (t) мгновенные амплитуды A (t) и частоты d φ / dt

(Рис. П2.1). Амплитуды, показанные толстыми линиями, на самом деле являются огибающими затухающих

Процессы. Частота линейного осциллятора постоянна, а частота

Как и ожидалось, осциллятор Дуффинга зависит от амплитуды. Обратите внимание, что хотя только о

Было использовано 20 периодов колебаний, нелинейные свойства системы могут

Легко выявить из временного ряда, потому что частота и амплитуда