Связанные хаотические отображения (13.1), подверженные линейной связи. Мы представляем связь как

средство общего линейного оператора L, заданной в N × N матрицы:

х k (t + 1) =

N

∑

j = 1

L kj f (x j (t)).

(14.1)

Диссипативные условия связи, которые мы обсуждали в разделе 13.1, могут быть

Теперь формулируется следующим образом.

(i) Система (14.1) имеет симметричное полностью синхронное решение

Где состояния всех подсистем идентичны

324

Стр. Решебника 347

Идентичные карты, общий оператор связи

325

x 1 (t) = x 2 (t) = ··· = x N (t) = U (t).

Это так, если постоянный вектор e 1 = (1,..., 1) является собственным вектором

матрица L, соответствующий собственному значению сг 1 = 1.

(II) Все другие собственные значения L находятся в абсолютной величине меньше 1. Это приводит к тому

Гашение неоднородных возмущений за счет связи.

Устойчивость синхронного состояния можно определить из линеаризации

Уравнение (14.1). В отличие от простейшего случая из главы 13, существует много поперечных

Мод, а наибольший поперечный показатель Ляпунова дает условие устойчивости.

Рассмотрим эволюцию неоднородного возмущения δ x k (0) хаотической

Раствор U (t). После T итераций имеем

δ х к (Т) = Ь Т

Т

∏

t = 1

f ′ (U (t)) δ x k (0).

Поскольку множители f ′ (U) не зависят от k, эволюция возмущения может

Разложиться на собственные векторы матрицы L kj. При больших Т наибольшая негорючесть

Возмущение доминирует второй собственный вектор e 2, потому что он имеет

собственное значение σ 2, ближайшее к 1; отсюда получаем инкремент (аналогично (13.14))

| δ x k (T) | ∝ e 2 | σ 2 | Т е Т λ = е 2 е Т λ ⊥,

λ ⊥ = λ + ln | σ 2 |.

(14.2)

В этих обозначениях критерий линейной устойчивости синхронного состояния совпадает с

в разделе 13.2: λ ⊥ <0.

Этот критерий может применяться как для малых, так и для больших ансамблей взаимодействующих

Хаотические системы. В последнем случае возникает естественный вопрос: полные ли?

Синхронизация хаотического ансамбля возможна при большом количестве взаимодействующих

элементов N, или даже в термодинамическом пределе N →∞. Каквидноиз (14.2),

Ответ зависит от поведения спектра оператора L. Это всегда было

собственное значение σ 1 = 1, так что мы можем записать критерий устойчивости синхронного

Состояние в форме

ln | σ 1 | - ln | σ 2 | > λ.

Это означает, что в спектре линейного

Муфта оператора L между первым и вторым собственных значений. Другими словами,

Динамика несимметричных мод должна быть достаточно быстрой: затухание из-за

Связь должна быть быстрее, чем нестабильность из-за хаоса. Понятно, что не все виды

муфты обладают таким зазором. Мы рассматриваем здесь в качестве примеров некоторые случаи физического

Важность.

Однонаправленная муфта

Физически однонаправленная связь означает, что сигнал от одного хаотического генератора

заставляет другой. В электронном виде такую ​​ схемулегкореализовать, связав

Стр. Решебника 348

326

Полная синхронизация II

Хаотические схемы через усилитель. Обычно считается, что однонаправленная связь

для регулярной решетки, но может встречаться и в сложных сетях, см. рис. 14.1.

Для двух взаимодействующих систем ситуация однонаправленной связи описывается выражением

Матрица взаимодействия

L = [

1

0

ε 1 - ε

].

(14,3)

Собственные значения легко вычислить.

σ 1 = 1,

σ 2 = 1 - ε,

А синхронное хаотическое состояние линейно устойчиво, если

λ + ln | 1 - ε | <0.

(14,4)

Этот результат легко обобщить на случай решетки из N однонаправленно.

связанных систем (рис. 14.1а), где матрица имеет вид

L =















1

0

0

0

...

0

ε 1 - ε

0

0

...

0

0

ε

1 - ε

0

...

0

...

0

0

0

Е

1 - ε















.

(14,5)

Здесь второе собственное значение (которое на самом деле вырождается в (N - 1) раз) также σ 2 =

1 - ε идляустойчивостисинхронногосостоянияполучаем (14.4) независимо

Числа N взаимодействующих систем: оператор, описывающий однонаправленную

Связь имеет разрыв в спектре.

Стоит отметить, что наличие такого разрыва во многом зависит от

Граничные условия, используемые в решетке. В (14.5) мы предположили отсутствие взаимодействия

Между первым и последним элементами решетки. Если мы возьмем одностороннюю пару

(б)

а)

Рисунок 14.1. Схематическое изображение однонаправленной связи в решетке (а) и в решетке

сеть (б). Решетка может образовывать кольцо, если последний элемент управляет первым (показано

пунктирной линией на (а)).

Стр. Решебника 349

Идентичные карты, общий оператор связи

327

решетка с периодическим граничным условием (см. рис. 14.1а), где первым элементом является

Связанная с последней, матрица взаимодействия имеет вид

L =















1 - ε

0

0

0

...

ε

ε

1 - ε

0

0

...

0

0

ε

1 - ε

0

...

0

...

0

0

0

Е

1 - ε















,

(14,6)

И спектр резко меняется. Поскольку решетка однородна, собственная функция

Ции являются модами Фурье, а спектр можно представить как функцию волновой

Число K

| σ (K) | 2 = (1 - ε) 2 + 2 ε (1 - ε) cos K + ε 2,

− π ≤ K < π.

В этом спектре нет щели (поскольку | σ (K) | → 1 при K → 0), поэтомунетсинхронизации