Смысл дискретных моделей рассмотрим два способа введения дополнительной диссипации в

Отображение (13.1). Диссипативные члены должны уменьшать переменную x. Дополнительный термин вроде

x (t + 1) = f (x (t)) - γ x (t) может уменьшать или не уменьшать x, в зависимости от знаков и значений

f (x) и γ. Впротивоположностьэтомуумножениенамножитель | γ | <1 какв x (t + 1) = γ f (x (t))

Всегда уменьшает абсолютное значение x.

Стр. Решебника 325

Простейшая модель: две связанные карты

303

[ х (t + 1)

у (т + 1)

] = [1 - ε

ε

ε

1 - ε

] [ f (x (t))

f (y (t))]

Знак равно

(1 - ε) f (x (t)) + ε f (y (t))

ε f (x (t)) + (1 - ε) f (y (t))]

.

(13,4)

Отметим, что система (13.4) полностью симметрична относительно обмена

переменных x ↔ y, благодаря нашему выбору симметрично связанных идентичных подсистем.

Опишем теперь качественно то, что наблюдается в базовой модели (13.4), когда

положительный параметр связи ε изменяется. Предельныеслучаиясны: если ε = 0, два

переменные x и y полностью независимы и некоррелированы; если ε = 1/2, тодаже

После одной итерации две переменные x и y становятся идентичными, а одна сразу

наблюдает состояние, в котором x (t) = y (t) для всех t (значение ε = 1/2 соответствует

Максимально прочное сцепление). Поскольку связь не влияет на это состояние, динамика

Из х и у являются такими же, как и в несвязанных систем, то есть хаотично. Именно такой

Режим, в котором каждая из систем демонстрирует хаос и их состояния идентичны

в каждый момент времени называется полной синхронизацией (иногда термины

Также используются «идентичный», «полный» и «хаотический»). Теперь, если параметр связи ε ра вен

Рассматривается как параметр бифуркации и постепенно увеличивается от нуля, сложная

Бифуркационная структура обычно наблюдается (возможно, включая нехаотические состояния), но

Четко видна тенденция к более тесной корреляции между x и y. Можно найти

критическая связь ε с <1/2, такой, что при е> е гр синхронного состояния х = у является

Учредил. Самый простой способ увидеть этот переход - представить динамику в

плоскость (x, y) (см. рис. 13.2 позже). Точки за пределами диагонали x = y представляют собой

несинхронное состояние. С увеличением ε распределениеточекстремитсяк

диагонали, а за пределами критической связи ε c все точки удовлетворяют x = y.

Сопряженные карты наклонных палаток

Здесь мы проиллюстрируем эффект полной синхронизации с помощью карты косой палатки.

f (x) = {

Х / а

если 0 ≤ x ≤ a,

(1 - х) / (1 - а)

если a ≤ x ≤ 1,

(13,5)

в качестве примера (при a = 0,5 получается обычная карта палатки; этот симметричный случай имеет вид

Однако вырожденные, как мы обсудим ниже). Типичный несимметричный случай этого

карта представлена ​​ нарис. 13.1; онрастягиваетединичныйинтервалискладываетеговдвое. Последовательность

Растяжения и складывания приводит к чистому хаосу, в отличие от другой популярной модели,

Логистическая (параболическая) карта, где хаотические и периодические состояния перемешиваются (как функция

некоторого параметра). Более того, инвариантная мера для одиночного косого тентового отображения равна

Равномерный, что позволяет получить некоторые аналитические результаты в разделе 13.3.

Синхронное и несинхронное состояния показаны на рис. 13.2. Критический

значение связи здесь ε c ≈ 0,228 при a = 0,7 (вычислим эту величину

ниже). Полная синхронизация на рис. 13.2а существует для сильных связей 1/2>

ε > ε c, а при более слабой связи наблюдаются асинхронные состояния (рис. 13.2б, в).

Стр. Решебника 326

304

Полная синхронизация I

На рис. 13.3 проиллюстрирована динамика вблизи порога синхронизации, которая

Будет в центре нашего внимания в этой главе. Чтобы охарактеризовать синхронизацию

перехода при ε = ε c, удобно ввести новые переменные

U =

х + у

2

,

V =

Х - у

2

.

(13,6)

Отметим, что в полностью синхронном состоянии переменная V обращается в нуль; для немного

асинхронных состояний мало. Геометрически переменная U направлена ​​ вдоль

диагонали x = y, а переменная V соответствует направлению, поперечному к этому

диагональ. Характерной особенностью слегка асинхронного состояния вблизи ε c является

прерывистое поведение переменной V, как показано на рис. 13.3. Редкий, но большой

Всплески V являются характерной чертой этой модуляционной перемежаемости (иногда

Вызванная перемежаемость включения-выключения). В теоретическом описании ниже мы увидим, что

логарифм | V | - величина, для которой можно построить теорию, поэтому

динамика ln | V | также показаны на рис. 13.3.

13,2

Устойчивость синхронного состояния