И Rappel 1992; Накагава и Курамото 1993, 1994, 1995; Банаджи и Глендиннинг

1994] и гибель колебаний [Ermentrout 1990] не происходят для фазовых осцилляторов. Закрывать

к этим работам относятся исследования связанных лазерных мод [Winful and Rahman 1990].

Осцилляторы релаксации демонстрируют большое разнообразие эффектов [Kuramoto et al. 1992;

Эбботт и ван Фрисвейк, 1993 год; Цодыкс и др. 1993; Wang et al. 1993; Chen 1994;

Боттани 1995, 1996; Эрнст и др. 1995, 1998; Герстнер 1995; Раппель и Карма 1996;

Van Vreeswijk 1996; Кирк и Стоун 1997; Бресслофф и Кумбс 1999; Wang et al.

2000b]. Наконец, отметим, что Роджерс и Вилле [1996] изучали решетки осцилляторов.

С дальнобойной муфтой; здесь можно настраиваться между локальной и глобальной связью.

Стр. Решебника 321

Часть III.

Синхронизация хаотических систем

Стр. Решебника 322

Стр. Решебника 323

Глава 13

Полная синхронизация I: основные понятия

Цель этой главы - описать основные свойства полной син-

Хронизация хаотических систем. Наш подход следующий: берем систему

Как можно проще и как можно подробнее опишите его. Простейший

Хаотическая система - это одномерная карта, она будет здесь нашим примером. Мы начинаем с

Построение модели сопряженной карты и феноменологически описать, что

Полная синхронизация выглядит. Самое интересное и нетривиальное явление

Вот переход синхронизации. Будем рассматривать это как переход внутри хаоса,

И придерживайтесь двойного подхода. С одной стороны, мы используем неравномерность хаоса и

Описать переход статистически. С другой стороны, мы исследуем детерминированные регулярные

Свойства динамики и описывают переход топологически, как бифуркацию.

Мы надеемся убедить читателя, что эти два подхода дополняют друг друга,

Дающий полную картину явления. В следующей главе мы обсудим многие

Обобщения простейшей модели, мы увидим, что основные черты полного

Синхронизация обычно применима для широкого класса хаотических систем.

Предпосылкой для этой главы являются базовые знания теории хаоса в

Частный показатель показателей Ляпунова. Для аналитического статистического описания используем

Термодинамический формализм, а для топологических соображений знание

Теория бифуркации полезна. Эти темы можно найти во многих учебниках по нелинейным

динамика и хаос [Schuster 1988; Отт 1992; Каплан и Гласс 1995; Alligood et al.

1997; Guckenheimer and Holmes 1986], а также в монографиях [Badii and Politi

1997; Beck and Schlögl 1997].

301

Стр. Решебника 324

302

Полная синхронизация I

13,1

Самая простая модель: две связанные карты

В этом вводном разделе мы демонстрируем эффект полной синхронизации,

на примере простой модели связанных карт. Единый одномерный

Карта

х (т + 1) = е (х (т))

(13,1)

представляет собой динамическую систему с дискретным временем t = 0, 1, 2,... и непрерывным состоянием

переменная x. Хорошо известными примерами хаотичного поведения являются логистическая карта.

f (x) = 4 x (1 - x) и карта палатки f (x) = 1 - 2 | х |.

Рассмотрим две такие карты, описываемые переменными x, y соответственно. Как

Динамика каждой переменной хаотична, в случае независимых (невзаимодействующих)

Системы, в которых наблюдаются два независимых случайноподобных процесса без каких-либо взаимных

Корреляция. Теперь давайте представим взаимодействие между двумя системами. Конечно,

Не существует единственного способа связать два сопоставления: любой дополнительный термин, содержащий оба

X и y в правой части уравнения обеспечат некоторую связь. Мы хотим,

однако муфта должна обладать некоторыми физически значимыми свойствами:

(i) связь является сжимающей, т. е. стремится сделать состояния x и y ближе к

друг с другом;

(ii) связь не влияет на симметричное синхронное состояние x = y.

Первое условие можно также назвать диссипативным: оно соответствует, например, сопутствующему состоянию.

Протекание электронных элементов через резисторы. 1 Общий вид линейной связи

Оператор, удовлетворяющий указанным выше свойствам, является

L = [

1 - α

α

β

1 - β,

]

(13,2)

где 0 < α <1, 0 < β <1. Впростейшемслучаесимметричнойсвязиположим

α = β = ε, чтобыполучить

L = [

1 - ε

ε

ε

Е.

]

(13,3)

Теперь линейную связь (13.3) следует совместить с нелинейным отображением (13.1).

Правильный способ сделать это - чередовать применение линейного и нелинейного

отображения, т. е. умножить на 2 соответствующие операторы:

См. Также обсуждение диссипативной и реактивной связи в разделе 8.2.

В отличие от динамики в непрерывном времени, не следует добавлять вклады различных факторов,

Но умножьте их. Чтобы прояснить этот момент, который важен для понимания физических