Фазозависимая величина по всей среде будет давать колебания с

общая частота. Chaté и Manneville [1992] описали разные примеры.

Такого поведения.

11,3

Слабонелинейная колебательная среда

В разделе 11.2 мы охарактеризовали колеблющуюся среду с однофазной переменной.

Это возможно, если отклонения всех остальных переменных от описываемого предельного цикла:

Однородные периодические колебания малы. В противном случае нужно учитывать

Полные дифференциальные уравнения в частных производных для переменных состояния. Ситуация упрощена

Если колебания слабо нелинейны. В этом случае можно ввести сложный

Амплитуды A, зависящей от пространства и времени, и представить переменную состояния u (x, t) как

u = Re (A (x, t) e i ω t). Здесь ω - частотасобственныхколебаний. Уравнениедля

A может быть получен для конкретной задачи с помощью метода усреднения или

его вариации (см., например, [Kuramoto 1984; Haken 1993; Bohr et al. 1998]). Мы тут

Воспользуемся тем же подходом, что и в разделе 11.2: начнем с решетки слабонелинейных

Автогенератора и рассмотрим его непрерывный предел.

Комплексное уравнение Гинзбурга – Ландау

Одномерная решетка слабосвязанных нелинейных осцилляторов описывается

обобщение уравнений. (8.12):

D A k

dt = µ A k - (γ + i α) | A k | 2 A k + (β + i δ) (A k +1 + A k − 1 - 2 A k).

(11.14)

Здесь мы предполагаем, что все осцилляторы имеют одинаковые параметры. Переход на континент

в среде считается, что разность A k +1 - A k порядка x; соответственно

постоянные взаимодействия β и δ велики. Положив β = ˜ β (x) − 2 и δ = ˜ δ (x) − 2,

Мы получили

∂ A

∂ t = µ A - (γ + i α) | А | 2 + (~ β + я ~ δ) ∇ 2.

Здесь удобно использовать то же масштабирование, что и в разделе 8.2, т.е. нормировать время на µ

и амплитуду на √γ / µ, чтобыполучитьизвестноекомплексноеуравн ение Гинзбурга – Ландау

(CGLE):

Стр. Решебника 296

274

Синхронизация в колебательных средах

∂ a (x, t)

∂ т

= а - (1 + ic 3) | а | 2 а + (1 + ic 1) ∇ 2 а,

(11.15)

Описывающее слабонелинейные колебания в сплошной среде. Его условия

Имеют следующие физические значения: первый член справа описывает линейную

Рост колебаний; второй член описывает нелинейное насыщение (действительная часть

Коэффициент) и нелинейный сдвиг частоты (мнимая часть); последний термин описывает

Пространственное взаимодействие (диффузия) диссипативного (действительная часть) и реактивного (мнимая часть)

Типы. Чисто консервативная версия CGLE (т. Е. С чисто воображаемым

коэффициенты слева справа; формально это соответствует пределу c 1,3 →∞)

Нелинейное уравнение Шредингера, полностью интегрируемая гамильтонова система. В контексте

Для автоколебаний существенны диссипативные члены; кроме того, в некоторых

Ситуаций (изохронные колебания и чисто диссипативная связь) коэффициенты

C 1 и c 3 исчезают. Не претендуя на полное описание свойств CGLE

(см., например, [Shraiman et al. 1992; Cross and Hohenberg 1993; Chaté and Manneville

1996; Bohr et al. 1998]), здесь мы подчеркиваем только те особенности, которые важны

Точка зрения синхронизации.

CGLE имеет решения в виде плоских волн (ср. (11.5))

a (x, t) = (1 - K 2) exp [ i K x - i (c 3 + (c 1 - c 3) K 2) t ],

Которые можно интерпретировать как синхронизированные состояния в среде. Не все эти волны

Устойчивы, но существуют устойчивые длинноволновые решения, если

1 + с 1 с 3 > 0.

(11.16)

Чтобы увидеть, как возникает критерий (11.16), запишем фазовое приближение для

CGLE. Это приближение справедливо для состояний, медленно меняющихся в пространстве, где

диффузионный член (пропорциональный квадрату характеристического волнового числа) может

Можно рассматривать как небольшое возмущение. Таким образом, мы можем применить общую формулу (7.14)

Для возмущений вблизи пространственно однородного предельного цикла, чтобы получить уравнение для

Фаза. В эту формулу подставим фазовую зависимость в виде (ср. Уравнения (7.10))

И (7.16))

φ (X, Y) = загар

− 1

Y

Х -

C 3

2

ln (X 2 + Y 2)

И возмущение в виде

p X = 2 X (φ) - c 1 ∇ 2 Y (φ), p Y = 2 Y (φ) + c 1 ∇ 2 X (φ),

с a = X + iY = cos φ + i sin φ, чтобыполучить

∂φ

∂ t знак равно - c 3 + (1 + c 3 c 1) ∇ 2 φ + (c 3 - c 1) (∇φ) 2.

(11.17)

Это уравнение, конечно, совпадает с (11.4). Главное, что делает динамику-

Нетривиальной особенностью CGLE является возможная нестабильность фазы: фазовая диффузия

Стр. Решебника 297

Слабонелинейная колебательная среда

275

коэффициент в уравнении. (11.17) равно 1+ c 3 c 1, а когда оно отрицательно, пространственно однородное

синхронное состояние нестабильно. Критерий (11.16) был выведен Ньюэллом [1974], но

Нестабильность часто называют нестабильностью Бенджамина – Фейра после аналогичного лечения.

неустойчивости нелинейных волн на воде [Benjamin, Feir, 1967].

Физический механизм неустойчивости станет ясным, если мы сравним

Критерий Ньюэлла (11.16) к уравнению. (8.17), описывающее взаимодействие двух осцилляторов.