Языки Арнольда. Как и в гладком случае, все рациональные и иррациональные числа вращения

возможны, но мера иррациональных чисел (в пространстве параметров) теперь

ноль: ситуация с квазипериодическим режимом в отображении рис. 8.4 является исключительной,

обычно будут наблюдаться периодические орбиты [Boyd 1985; Веерман 1989]. Это кон-

Последовательность сильной диссипации в рассматриваемой модели интегрирования и огня, как обсуждалось

Выше.

8,4

Библиографические примечания

По динамике связанных систем существует обширная литература. В настоящее время основные

Акцент делается на сложном поведении и появлении хаоса из-за взаимодействия. В

теоретические [Waller and Kapral 1984; Пастор-Диаз и др. 1993; Волков и Романов

Пастор-Диас и Лопес-Фрагуас, 1995 год; ТАСС 1995; Kurrer 1997; Лопес-Руис и

Pomeau 1997; Редди и др. 1999] и экспериментальный [Бондаренко и др. 1989; Шип

burg et al. 1997] статьи заинтересованный читатель может найти дальнейшие ссылки. В сочетании

ротаторы интенсивно изучались в контексте массивов джозефсоновских контактов [Jain

и другие. 1984; Сайто и Нишино 1991; Валкеринг и др. 2000]. Наконец, отметим

Некоторые недавние статьи, в которых различные обобщения осцилляторов «интегрировать и запустить»

были рассмотрены [Кирк и Стоун 1997; Эрнст и др. 1998; Кумбс и Бресслофф

1999; SH Park et al. 1999b].

0

10

20

30

40

Время

0

π

2 π

φ 1,2

Рисунок 8.5. Фазовая синхронизация неодинаковых релаксационных осцилляторов с отношением

собственные частоты ω 1 / ω 2 = 1,55. Наблюдается синхронизация 2: 3, и это

режим соответствует периодической траектории карты, показанной на рис. 8.4б.

Стр. Решебника 258

Глава 9

Синхронизация при наличии шума

В предыдущих главах мы рассматривали синхронизацию в чисто детерминированных системах,

Пренебрегая всеми неровностями и колебаниями. Здесь мы обсуждаем, как последние эффекты могут

Быть включенным в картину фазовой синхронизации. Начнем с обсуждения эффекта

Шума на автономных автоколебаниях. Покажем, что шум вызывает фазу

Диффузия, тем самым нарушая идеальную временную периодичность. Далее мы рассматриваем синхронизацию

Внешней периодической силой в присутствии шума. Наконец, мы обсуждаем взаимные

Синхронизация двух зашумленных генераторов.

9.1

Автогенератор при наличии шума

Ни один осциллятор не является идеально периодическим: все часы нужно время от времени настраивать,

Некоторые даже довольно часто. Есть много факторов, вызывающих нерегулярность самоподдерживающегося

Генераторы, для простоты мы будем называть их все шумовыми. Подробный разбор зашумленных

Генераторы должны включать подробное математическое описание проблемы, где

Следует учитывать колебания различной природы (например, технические, термические).

Это было сделано для разных типов осцилляторов (см., Например, [Малахов, 1968]); здесь

Мы хотим обсудить только основные явления.

В качестве первой модели мы рассматриваем автогенератор, подверженный шумному внешнему воздействию.

Сила. Пересматривая основные уравнения вынужденных осцилляторов главы 7, можно увидеть

Что только приближение фазовой динамики справедливо в случае флуктуирующего

Силы также, поскольку мы не предполагаем какой-либо регулярности силы при выводе

Уравнение (7.15). Таким образом, мы можем использовать это уравнение и для шумного форсинга:

d φ

dt = ω 0 + ε Q (φ, t),

(9.1)

236

Стр. Решебника 259

Синхронизация при наличии шума

237

где Q - 2 π - периодическаяфункцияот φ ипроизвольнаяслучайнаяфункциявремени.

Простейшим случаем является ситуация, когда стохастический член в фазовом уравнении

(9.1) совершенно не зависит от фазы, поэтому мы можем записать

d φ

dt = ω 0 + ξ (t)

(9.2)

со стационарным случайным процессом ξ (t). Поскольку мгновенная частота ˙φ (ск орость-

Степень чередования фаз) является случайной функцией времени, фаза претерпевает случайную

Прогулка или диффузное движение. Решение (9.2) есть

φ (t) = φ 0 + ω 0 t + ∫

т

0

ξ (τ) d τ,

(9,3)

И из этого решения легко найти статистические характеристики разности фаз.

Слияние. Мы предполагаем, что среднее значение шума обращается в ноль (если нет, то можно поглотить

среднее значение по частоте ω 0), то усредненное по ансамблю значение фазы при

время t равно φ 0 + ω 0 t. Дисперсия может быть получена путем усреднения квадрата (9.3); для

при больших временах оно подчиняется обычному соотношению Грина – Кубо для диффузионных процессов (см., например,

[ван Кампен 1992])

〈 (Φ (t) - φ 0 - ω 0 t) 2 〉 ∝ tD,

D = ∫

∞

−∞

K (t) dt,

(9,4)

где K (t) = 〈 ξ (τ) ξ (τ + t) 〉 - корреляционная функция шума.

Распространение фазы означает, что колебания больше не являются идеальными.