Прежде чем перейти к обсуждению свойств карты окружности, мы

представить простой пример, где карта круга может быть написана явно. Кроме того,

этот пример иллюстрирует вторую возможность построения карты круга: фаза

Колебаний не измеряется стробоскопически, но фаза внешней силы равна

Взятые при некоторых определенных событиях колебания (для исходной динамической системы

Это представляет собой другой способ создания сечения Пуанкаре на торе).

Пример: релаксационный (интегрированный и запорный) осциллятор.

Популярной моделью релаксационного автогенератора является система интегрирования и зажигания.

Тем. Он описывается одной скалярной переменной x (t). Динамика x состоит из двух

части:

(i) интегрирование: x растет линейно во времени x = (t - t n) / T 0, где t n - время

предыдущий обжиг;

(ii) срабатывание: когда x достигает порога x up = 1, значение x мгновенно

сводится к x вниз = 0.

Обратите внимание, что здесь мы используем нормированные переменные, а период колебаний равен T 0.

Модель легко обобщается на нелинейный рост x (см., Например, [Mirollo and

Strogatz 1990b]).

Следует также отметить, что мы не пишем уравнения движения типа (7.5) для

Эта система. Действительно, такие уравнения должны быть как минимум двумерными, описывая как

Медленное (интегрирование) и быстрое (прыжок). Обычно это можно сделать с помощью

Уравнения. (7.5) с большим параметром, описывающим соотношение двух временных масштабов. Упрощенный

Приведенное выше описание, строго говоря, действительно, когда этот параметр стремится к бесконечности, и

Движение в фазовом пространстве ограничивается так называемым медленным многообразием (плюс скачки).

Такой квазиодномерный характер динамики делает описание с

Одномерная круговая карта точная.

Есть несколько способов заставить релаксационный осциллятор, как показано на рис. 7.14.

(i) Изменение нижнего порога. Значение x down является периодической функцией

время, например, x down = ε sin ω t, см. рис. 7.14b. Обозначим время n- го выстрела

Событие как t n. Тогда время следующего события можно рассчитать как

Стр. Решебника 225

Карта окружности и кольца

203

т н +1 знак равно т н + т 0 - ε т 0 грех ω т н. Представляем фазу внешней силы

φ (e) = ω t, получаем отображение, заданное на окружности 0 ≤ φ (e) <2 π:

φ

(е)

п +1 = φ (е)

n + ω T 0 - εω T 0 sin φ (e)

П.

(7.50)

(ii) Изменение верхнего порога. Если значение x up изменяется в соответствии с

x up = 1 + ε sin ω t (см. рис. 7.14c), затем снова времена n- го и

(n + 1) -ые срабатывания связаны уравнением t n +1 = t n + T 0 + ε T 0 sin ω t n +1.

К сожалению, это соотношение неявно по отношению к t n +1. При малых ε мыможем

приблизительно разрешите его как t n +1 = t n + T 0 + ε T 0 sin ω (t n + T 0), что приводит к

Уравнение (7.50). Однако при больших ε соотношениемежду t n +1 и t n становится

Прерывистый.

(iii) Импульсная сила. Если на генератор интегрирования и зажигания воздействует другой аналогичный

Осциллятор, внешняя сила имеет вид последовательности импульсов с периодом

T. Пусть амплитуда каждого импульса равна ε, такчтосостояниепослеимпульсабудет x + ε.

Здесь возможны две ситуации: если x + ε < x up, интегрирование продолжается; если

x + ε > x up, генератор срабатывает, и переменная x сбрасывается до x вниз, см.

Рис. 7.14d. Обозначим интервал времени между внешним импульсом и

следующее срабатывание по τ n. Тогда при τ n +1 получаем разрывную не взаимно однозначную окружность

Карта

τ n +1 =







0

если 1 - {

Т - т н

Т 0

} < ε,

Т 0 (1 - ε) - Т + τ n

если 1 - {

Т - т н

Т 0

} ≥ ε,

где {·} обозначает дробную часть.

Вниз

(г)

(c)

(б)

Х вверх

Х вниз

Х вверх

Х вниз

Х вверх

Икс

Х вверх

Х вниз

а)

Рисунок 7.14. Различные способы заставить релаксирующий осциллятор. а) автономный

осциллятор демонстрирует чисто периодическое движение. (б) Изменение нижнего порога.

(c) Изменение верхнего порога. (г) Вынуждающий осциллятор с периодической последовательностью

Импульсов.

Стр. Решебника 226

204

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Мы видим, что в зависимости от искусства принуждения появляются разные типы круговой карты.

Чаще всего используется карта с гладким кругом, например (7.50); мы в основном сконцентрируем наши

Обсуждение этого дела.

7.3.2

Карта круга: свойства

Карта круга является одной из основных моделей нелинейной динамики и описана в

большинство книг по нелинейным системам, в том числе по математике [Katok and Hasselblatt

1995] и физически ориентированные [Ott 1992; Argyris et al. 1994; Шустер 1988].

Здесь мы обрисовываем некоторые части теории, акцентируя внимание на особенностях, связанных с

к проблеме синхронизации. В качестве базового наглядного примера рассмотрим синус

Круговая карта

φ n +1 знак равно φ n + η + ε sin φ n.

(7,51)