Здесь возможно: установившееся состояние (если крутящий момент мал) или вращения (для больших K ). 14 Фаза

пространство динамической системы (7.69) представляет собой цилиндр 0 ≤

<2 π, −∞ < ˙ < ∞

(положения маятника, различающиеся на 2 π, считаемэквивалентным и). Устойчивый

Состояние - это неподвижная точка на цилиндре, а вращения соответствуют замкнутой притягивающей траектории.

На этом цилиндре. Хотя нет физического механизма для самоподдерживающегося

Колебания здесь возникает предельный цикл из-за особой структуры фазового пространства,

Т.е. к периодичности по угловой переменной.

Поскольку вращение представлено предельным циклом, оно имеет все свойства

Предельный цикл в автономной системе: это изолированная замкнутая орбита, имеющая один ноль

И один отрицательный показатель Ляпунова. Таким образом, мы можем обрабатывать постоянно принудительные вращения.

Как автоколебания. Однако не вся теория, разработанная для колебаний

Здесь могут быть применены: конкретная цилиндрическая структура фазового пространства накладывает некоторые

ограничения (например, бифуркация цикла Хопфа невозможна).

Примечательно, что существует совсем другое применение уравнения. (7.69): он описывает

Динамика джозефсоновского перехода. Ссылаясь на книги Бароне и Патерно

[1982] и [Лихарев, 1991] для подробностей, мы делаем набросок вывода. В широко

В принятой модели резистивно шунтированного перехода (рис. 7.20б) предполагается, что переход

Ток состоит из трех составляющих: сверхпроводящего тока I c sin, резистивного

ток V / R, а ток емкости ˙ VC. Здесь динамическая переменная (t) - это

Разность фаз между макроскопическими волновыми функциями сверхпроводников на

Две стороны контакта. В контексте динамики перехода Джозефсона часто бывает

Называется «фаза», но здесь мы предпочитаем называть ее «угол», поскольку термин «фаза» зарезервирован для

Переменная на предельном цикле. Параметр I c называется критическим сверхтоком

Соединение. Сопротивление R и емкость C характеризуют нормальный ток.

Наконец, напряжение V относится к углу

По формуле Джозефсона

знак равно =

Е

¯ h

V,

(7,70)

Где заряд электрона e и постоянная Планка показывают лежащую в основе квантовую

Природа явления. Собирая все слагаемые, получаем уравнение

На самом деле, может быть и область бистабильности этих двух режимов.

K

а)

р

я

(б)

Ψ

C

J

Рисунок 7.20. а)

Маятник самый простой

ротатор. (б) Шунтированные

Модель «электрического

Ротатор», Джозефсоновский

Соединение. Обе системы

Описывается эквивалентным

Уравнения (7.69) и (7.71).

Стр. Решебника 239

Синхронизация ротаторов и джозефсоновских переходов

217

Переход, питаемый внешним током I

I = I Ĉ грешить

+

¯ h

ЭР

d

dt +

C ¯ h

Е

D 2

Dt 2

,

(7,71)

Что совпадает с (7.69). Усредненная частота вращения имеет четкую физическую

Смысл для джозефсоновского перехода: согласно (7.70) он пропорционален

Среднее (постоянная составляющая) напряжение на переходе. Устойчивое состояние ротатора

(т.е. ˙ = 0) соответствуетнулевомунапряжению, втовремякакдлявращенийнапряжениеотличноотнуля.

Синхронизированные вращения соответствуют, как мы покажем ниже, ступеням напряжения -

Текущие характеристики перехода.

7.4.2

Передемпфированный ротатор во внешнем поле

Как мы утверждали выше, вращения описываются предельным циклом в фазовом пространстве, поэтому

Что здесь могут быть применены все общие результаты разделов 7.1 и 7.3. Более того,

Некоторые явления синхронизации можно изучить в еще более простом контексте из-за

Специфическая топологическая структура фазового пространства. Действительно, обычно периодические колебания

Невозможны в одномерных динамических системах (чтобы иметь предельный цикл

Нужно хотя бы двумерное фазовое пространство). Но для вращений это уже не

Истина: если фазовое пространство представляет собой одномерный круг, возможны вращения.

Для ротатора и джозефсоновского контакта получаем одномерную систему в

Перезатухающий предел, когда коэффициент при второй производной стремится к нулю. В

В случае джозефсоновского перехода это означает исчезающую емкость. Уравнение

Затем движение читается

d

dt = α (- грех

+ I),

(7,72)

где α = 2 eRI c / ¯ h и I = I / I c. Это уравнение совпадает с уравнением. (7.29):

Уравнение усредненной фазы для вынужденного осциллятора такое же, как уравнение для

Ротатор с постоянным приводом с избыточным демпфированием. Приводной крутящий момент I соответствует