Большой ансамбль X (штриховой

Кривая), как в произвольной

Единиц, на форсировании

Частота в Лоренца

Система (10.11), для принуждения

амплитуда ε = 5. Для

Сравнение, наблюдаемые

Частота также нанесена на график.

Обе косвенные характеристики,

Рассчитано для наблюдаемых

Z (t), имеют максимум в

Область синхронизации.

Стр. Решебника 283

Синхронизация хаотических осцилляторов

261

Выберем одно из этих решений и рассмотрим влияние малой периодической силы

На него. За исключением того, что цикл сейчас нестабильный, мы переходим к стандартному

Проблема периодически вынужденных колебаний описана в разделе 7.3. Таким образом, мы можем использовать

Результаты теории, и характеризуют синхронизацию конкретной периодической орбиты

С числом вращения. Иррациональное число вращения означает квазипериодическое движение на

инвариантный тор, который возникает из периодической орбиты системы без принуждения. (Примечание

Что этот тор наследует неустойчивость периодической орбиты.) Рациональное число вращения

означает, что на инвариантном торе есть две периодические орбиты, одна «фазово-стабильная» и

Одна «фазо-нестабильная». Области рациональных чисел вращения представляют собой обычные области Арнольда.

язычки (см. рис. 7.15). На границе области запирания две замкнутые орбиты на

Тор сливается и исчезает через бифуркацию седло-узел. Вне языков

Движение, соответствующее этой периодической орбите, не синхронизировано, и

Траектории плотны на торе.

На плоскости параметров ω и ε остриеосн овного языка Арнольда пери-

одическая орбита лежит в точке ε = 0, ω = ω

(я)

0

, где ω

(я)

0

Средняя частота i- го

Автономная орбита. Эта частота отличается от формально определенной частоты

периодическое решение 2 π / T i, где T i - период орбиты: мы также учитываем

Здесь топологический период N i (количество оборотов орбиты, см. раздел 10.1)

и напишем ω

(я)

0

= 2 π N i / T i. Обычно значения ω

(я)

0

Различаются для разных периодических

орбиты: частоты ω

(я)

0

Могут быть близкими друг к другу или широко распространенными, в зависимости от

свойства времени возврата. Если частоты ω

(я)

0

Не очень разные,

Языки Арнольда перекрываются (рис. 10.11), и можно найти область параметров, в которой

ω

ε

Рисунок 10.11. Схема

Вид языков Арнольда для

Неустойчивые периодические орбиты в

Хаотическая система. В целом,

Автономные орбиты имеют

разные частоты ω

(я)

0

,

Поэтому языки соприкасаются

ось ω приразных

Точки. Крайний левый и

Крайние правые языки

Соответствующие орбитам

С минимальным и

максимальное ω

(я)

0

Показаны

Сплошные линии. В тени

Области все циклы

Синхронизировано и среднее

Частота колебаний

Практически совпадает с

Частота нагнетания.

Стр. Решебника 284

262

Фазовая синхронизация хаотических систем

Движение по всем периодическим орбитам блокируется внешней силой. Если принуждение остается

Умеренный, это область перекрытия для крайнего левого и крайнего правого Арнольда.

Языков, соответствующих периодическим орбитам автономной системы с

наименьшее и наибольшее значения ω

(я)

0

, соответственно. Внутри этого региона хаотичный

Траектории многократно посещают окрестности торов; движение по поверхности

Тора они приближаются к фазоустойчивому решению и остаются там некоторое время

прежде, чем «поперечная» (амплитуда) неустойчивость отразит их на другой тор. Поскольку все

периодические движения блокируются, фаза остается локализованной в ограниченной области:

Наблюдается фазовая синхронизация. За пределами области, где все языки пересекаются,

Синхронизация не может быть идеальной: на некоторых интервалах времени траектория следует

Замкнутые циклы, и фаза следует за внешней силой, но для других временных эпох

Траектория приближается к незаблокированным циклам и выполняет фазовый сдвиг. Последний

Ситуация наблюдается в системе Лоренца (рис. 10.9).

Взаимная синхронизация двух связанных генераторов

Продемонстрируем этот эффект на системе из двух диффузно связанных осцилляторов Ресслера.

(10.2):

˙ x 1 = - (1 + ν) y 1 - z 1 +

ε (х 2 - х 1),

˙ y 1 = (1 + ν) x 1 + 0,15 y 1,

˙ z 1 = 0,2 + z 1 (x 1 - 10),

˙ x 2 = - (1 - ν) y 2 - z 2 +

ε (х 1 - х 2),

˙ y 2 = (1 - ν) x 2 + 0,15 y 2,

˙ z 2 = 0,2 + z 2 (х 2 - 10).

(10.12)

Обратите внимание, что генераторы не идентичны; дополнительно введенный параметр ν

Управляет расстройкой собственных средних частот. Муфта диффузионная и

пропорциональна прочности связи ε.

Наблюдаемые частоты обоих осцилляторов можно вычислить напрямую, посчитав