Система Ресслера (10.2) и относительно широкая для аттрактора Лоренца. С периодическим

воздействия, в спектре появляется дополнительный δ - пикначастоте ω силы

(и на его гармониках n ω). Внеобластисинхронизациисуществуютобапикаи

интенсивность δ - пикапримернопорядкаамплитудывоздействия. Внутри

В области синхронизации δ - пикпоглощаетвсюинтенсивностьпикана

Частота автономных колебаний. Таким образом, синхронизация проявляется как сильная

Увеличение интенсивности S спектральной составляющей на частоте возбуждения. Этот

Увеличение связано с появлением когерентности хаотических колебаний. Действительно, периодический

сила подавляет диффузию фаз, так что фазы в моменты времени T, 2 T, 3 T,... имеют

Почти такая же стоимость. Следовательно, автокорреляционная функция не убывает.

максимумам при запаздывании T, 2 T, 3 T,..., где T = 2 π / ω, чтосоответствует

спектральной области до δ - пиканачастоте ω внешнейсилы.

Другая возможность выявить последовательность заключается в создании ансамбля реплик из

Хаотическая система. Без принуждения свойство перемешивания хаоса приводит к декогеренции в

Ансамбль: начиная с разных начальных условий, системы в конечном итоге разлетаются

над хаотическим аттрактором по естественной инвариантной мере. То же самое происходит

вне области синхронизации; см. рис. 10.7 для иллюстрации разбрасывания. в

синхронном режиме, все системы имеют тенденцию иметь примерно одну и ту же фазу, поскольку могут

как видно из рис. 10.7 и 10.9b. Теперь небольшое облако точек вращается как стабильное

Объект и не распространяется. Самый простой способ количественной оценки когерентности в ансамбле

из N одинаковых систем заключается в вычислении среднего поля X = N − 1 ∑ N

X k, где x k -

Строго говоря, спектр зависит от наблюдаемого; мы предполагаем, что генерал

невырожденная осцилляторная наблюдаемая используется для ее вычисления (например, x (t) для Rössler

system и z (t) для системы Лоренца).

0

5000 10000 15000 20000

Время

–2

0

2

4

(θ (t) −ω

Т) / 2

π

0

10

20

30

ты

0

10

20

30

40

50

z

а)

(б)

Рисунок 10.9. Несовершенная синхронизация системы Лоренца при ε = 10, ω = 8,35.

(а) Разность фаз как функция времени: большие синхронизированные интервалы перемешаны

с накладками. (б) Стробоскопический портрет принудительной системы. Автономный

аттрактор показан на заднем плане серым цветом.

Стр. Решебника 282

260

Фазовая синхронизация хаотических систем

Наблюдаемая k- й реплики системы. 4 Если синхронизация отсутствует, точки в

Фазовое пространство распределено по всему аттрактору, а среднее поле очень мало и

Почти постоянный во времени. Напротив, в случае синхронизации среднее поле

- осциллирующая (с частотой ω) функциявременисбольшойамплитудой.

Еще раз подчеркнем, что вычисление как среднего поля X, так и интенсивности

дискретной спектральной составляющей S не требует определения фазы и

поэтому не зависит от его определения. Следует отметить, что применение этих

Индикаторы не ограничиваются случаем хаотических осцилляторов; их также можно использовать для

Характеризуют динамику зашумленных систем. Проиллюстрируем использование косвенных индикаторов

синхронизации на рис. 10.10. Два косвенных подхода, конечно, взаимосвязаны.

Поздно. За счет перемешивания можно построить ансамбль одинаковых систем.

с другой стороны, наблюдая за одной системой в моменты времени 0, нТл, 2 нТл,...

С п достаточно большим. Таким образом, согласованность во времени одной системы такая же, как у

Согласованность в ансамбле независимых идентичных систем, управляемых общей силой.

Таким образом, интенсивность δ - пикавспектремощностипропорциональнаинтенсивности

колебаний среднего поля (подробнее см. [Пиковский и др., 1997b]).

Синхронизация по нестабильным периодическим орбитам

Другой подход к фазовой синхронизации хаотических генераторов основан на учете

Формирование свойств отдельных нестабильных периодических орбит (UPO), встроенных в

Хаотические аттракторы. Эти орбиты, как известно, образуют своего рода «скелет» хаотической

набор (см., например, [Отт 1992; Каток, Хассельблатт 1995]). В частности, автономный

Системы (10.2) и (10.4) обладают бесконечным числом неустойчивых периодических решений.

Как и спектр мощности, среднее поле зависит от наблюдаемого; см. предыдущую сноску.

8.0

8,2

8,4

8,6

ω

–0,2

0,0

0,2

0,4

Ω − ω

а)

(б)

S, X

Рисунок 10.10. В

Резонансные зависимости

Интенсивности

Дискретная спектральная составляющая

S (сплошная кривая) и

Дисперсия среднего поля в