Бесконечность. Теперь, когда осцилляторы не упорядочены в пространстве, обычно говорят о

ансамбль или совокупность связанных осцилляторов. Аналогия со статистической механикой:

Широко используется, поэтому неудивительно, что переход синхронизации появляется

Как неравновесный фазовый переход в ансамбле.

Начнем с описания перехода Курамото в заселенности фазы

Генераторы. Затем обсуждается ансамбль зашумленных генераторов. Различное обобщение-

Эти базовые модели (например, популяции хаотических осцилляторов) описаны в

Раздел 12.3.

12.1

Переход Курамото

В этом разделе мы рассмотрим, следуя Курамото [1984], простую модель N mu-

сопряженные осцилляторы, имеющие разные собственные частоты ω k. Динамика

управляется уравнениями, подобными уравнениям. (8.5):

279

Стр. Решебника 302

280

Популяции глобально связанных осцилляторов

d φ k

dt = ω k +

ε

N

N

∑

j = 1

sin (φ j - φ k).

(12.1)

Здесь параметр ε определяетсилусвязи. Связьмеждукаждым

пара выбирается пропорциональной N − 1: только в этом случае мы получаем N -независимые

приводит к термодинамическому пределу N →∞. Действительно, еслисвязьвкаждойпареравна

N -независимо, то сила, действующая на каждый осциллятор, растет с размером

Популяция, а в термодинамическом пределе эта сила стремится к бесконечности, очевидно,

К синхронизации всего населения. Собственные частоты осцилляторов

ω k должны быть распределены в некотором диапазоне, и при N →∞ мыможемописать

это распределение с плотностью g (ω). 1 Будем считать плотность симметричной

относительно единственного максимума на частоте ¯ ω. Вуравнении. (12.1) связь

Предполагается, что имеет простейшую форму синуса; некоторые обобщения будут обсуждены позже

В Разделе 12.3.

Прежде чем обсуждать возможное наступление взаимной синхронизации, перепишем систему

(12.1) более удобным для анализа способом. Мы представляем комплекс

Среднее поле населения по

Z = X + iY = Ke i

Знак равно

1

N

N

∑

k = 1

Е я ф к.

(12.2)

Среднее поле имеет амплитуду K и фазу:

K cos

Знак равно

1

N

N

∑

k = 1

cos φ k,

K sin

Знак равно

1

N

N

∑

k = 1

sin φ k.

(12,3)

Среднее поле является индикатором наступления когерентности из-за синхронизации в

Население. Действительно, если все частоты разные, то в любой момент

время фазы φ k равномерно распределены во внутреннем [0, 2 π), асреднее

Поле исчезает. И наоборот, если некоторые осцилляторы в популяции синхронизируются с одним и тем же

Частоты, то их поля суммируются когерентно, и среднее поле отлично от нуля. Аналогия

С ферромагнитным фазовым переходом, где среднее магнитное поле возникает из-за

корреляциям в направлениях элементарных магнитных моментов (спинов), налицо;

Таким образом, амплитуду среднего поля (12.2) можно принять как естественный параметр порядка

Синхронизирующего перехода.

Базовую модель (12.1) можно переписать как систему осцилляторов, вынужденных

Среднее поле

d φ k

dt = ω k + ε K sin (- φ k).

(12,4)

Очевидно, что поле с нулевым средним означает, что форсирование также обращается в нуль; следовательно, это

Некогерентное состояние всегда является решением системы (12.1). В этом случае каждый элемент

ансамбля колеблется со своей собственной частотой ω k. Эти частоты

1 Мы опускаем индекс ω варгументахраспределений.

Стр. Решебника 303

Переход Курамото

281

в целом разные, поэтому фазы распределены равномерно в интервале [0, 2 π)

И среднее значение в соответствии с уравнениями. (12.2) и (12.3) дают поле с нулевым средним. Штат

с ненулевым средним полем менее тривиальна. Если он периодический, K = постоянный,

= ω t, то

Каждое уравнение. (12.4) эквивалентно фазовому уравнению периодически управляемого генератора

(Уравнение (7.20)). Мы видим, что для каждого осциллятора среднее поле действует как внешняя сила

Которые, в зависимости от параметров, могут или не могут синхронизировать этот осциллятор.

Появление ненулевого среднего поля можно объяснить самосогласованно: a

Ненулевое среднее поле синхронизирует по крайней мере некоторые осцилляторы так, что они становятся совмещенными.

Herent, и эта когерентная группа дает конечный вклад в среднее поле. Мы

Теперь сделайте эти аргументы количественными.

Естественно предположить, что в силу симметрии распределения g (ω) среднеезначение

поле будет колебаться с центральной частотой ¯ ω (вобщем, мымоглибыначатьс

произвольную частоту и в конце получим ¯ ω изусловиясамосогласования; здесь,

используя симметрию, мы просто предполагаем, что ¯ ω являетсячастотойсреднегополя, имы