В случае бифуркации вил или орбиты с периодом два в случае удвоения периода

Появляться. Эти решения устойчивы в V -направлении, но наследуют нестабильность в V- направлении.

U -направление от симметричной неподвижной точки. Схема бифуркации представлена ​​ нарис. 13.6.

5 Для характеристики хаоса с помощью периодических орбит см., Например, [Artuso et al. 1990а, б; Отт 1992].

Стр. Решебника 341

Начало синхронизации: топологические аспекты

319

Эта картина верна для всех неподвижных точек и периодических орбит отображения f (x),

так что симметричная траектория x p (t) = y p (t) с периодом- T бифуркционирует либо на пару

Симметричные орбиты через бифуркацию вил или на орбиту с периодом 2 Тл через

Бифуркация удвоения периода. Точка бифуркации определяется из обобщения.

Согласно формуле (13.34): для периода - T орбиты множитель является произведением локальных множителей

µ v = (1 - 2 ε) T

Т

∏

t = 1

f ′ (x p (t)),

Поэтому аналогично (13.35)

ε c (x p) = 1 - [ ∏

Т

t = 1 | f ′ (x p) |]

− 1 / Т

2

.

(13,36)

Стоит отметить аналогию этого выражения со статистическим критерием

Начало синхронизации (13.15): вместо среднего по всему хаотическому аттрактору

множитель e λ, мы имеем в (13.36) средний множитель конкретной периодической орбиты.

Слабая и сильная синхронизация

Одно очень важное наблюдение состоит в том, что точки бифуркации (13.36) в общем случае не

Совпадают с критическим значением (13.15). Обычно множители для разных периодических

орбиты разные, поэтому у нас есть целая область бифуркации (ε c, min, ε c, max), где дифф-

Некоторые периодические орбиты становятся трансверсально неустойчивыми. Таким образом, в отличие от раздвоения

На одной периодической орбите переход для хаотического множества занимает интервал параметров.

Сначала опишем переход для случая сверхкритической поперечной бифуркации.

Можно выделить следующие этапы (см. Рис. 13.7).

V

(б)

а)

U

V

U

Рисунок 13.6. Эскиз сверхкритической поперечной бифуркации неустойчивой неподвижной

точка. (а) При ε > ε c (x ∗) неподвижная точка неустойчива в продольном направлении и

устойчив в поперечном направлении. (б) При ε < ε c (x ∗) поперечная неустойчивость приводит к

В рождении цикла (или пары неподвижных точек).

Стр. Решебника 342

320

Полная синхронизация I

Сильная синхронизация, ε > ε c, max

Все периодические орбиты трансверсально устойчивы. Следовательно, любая точка в окрестности

диагональ притягивается к синхронному состоянию x = y и остается там.

Слабая синхронизация, ε c < ε < ε c, max

Около 6 периодических орбит трансверсально неустойчивы, но синхронное состояние стабильно.

В среднем. Теперь в непосредственной близости от диагонали почти все (в смысле

Мера Лебега) начальные точки притягиваются к полностью синхронному состоянию, но

Есть также начальные условия, которые выходят из этой местности.

Слабо асинхронное состояние, ε c, min < ε < ε c

Синхронное состояние в среднем нестабильно, но некоторые синхронные периодические орбиты

По-прежнему трансверсально устойчивы.

На самом деле бесконечное количество.

c

ε

ε c, не более

ε c, мин

Слабо асинхронный.

Сильно асинхронный.

Государственный

Государственный

Слабый

Синхронизация

Синхронизация

Сильный

ε

Рисунок 13.7. Бифуркационная диаграмма переходов синхронизации. Переход

«Размазаны» по области (ε c, min, ε c, max). На нижних панелях жирные стрелки

демонстрируют подавляющую динамику вблизи симметричного состояния (притяжение при ε > ε c и

отталкивание при ε < ε c). Тонкие стрелки показывают исключительную динамику. При е < ε с, мин,

Все симметричные траектории трансверсально неустойчивы; это состояние сильно

асинхронный. При ε c, min < ε < ε c почти все симметричные траектории имеют вид

трансверсально нестабильное (слабо асинхронное состояние). При ε c < ε < ε c, max почти все

Орбиты притягиваются к симметричному аттрактору, хотя некоторые траектории на нем

трансверсально неустойчивый (слабая синхронизация). При ε > ε c, max все орбиты на

Симметричный аттрактор устойчивы (сильная синхронизация). Одна фиксированная точка, которая

претерпевает бифуркацию при ε = ε max, показано кружком (см. рис. 13.6).

Стр. Решебника 343

Начало синхронизации: топологические аспекты

321

Сильно асинхронное состояние, ε < ε c, min

Все периодические орбиты трансверсально неустойчивы.

Стабильность периодических орбит, описанная здесь, напрямую соответствует статистике.

Как следует из соображений раздела 13.3: наибольший (наименьший) множитель соответствует

Наибольший (соответственно наименьший) конечный показатель Ляпунова; регион, где