Возмущения начальных условий, а не чувствительность к шуму движения.)

При такой установке разница между положительными и отрицательными показателями Ляпунова будет

Легко заметить: при положительных показателях траектории систем будут следовать своим начальным

Стр. Решебника 364

342

Синхронизация сложной динамики внешними силами

Условия и останутся другими; в то время как для отрицательных показателей они забудут свои

Начальные условия и сближаются друг с другом, т. е. будут синхронизироваться. Это совпадение

Динамики двух систем, управляемых одним и тем же шумом, тривиально, если учесть

простейший линейный случай:

Dx

dt = - x + ξ (t),

Dy

dt = - y + ξ (t).

Поведение отдельной системы состоит из распадающихся свободных колебаний, зависящих от

Начальные условия (однородная часть) плюс вынужденные колебания в зависимости от

Только шум (неоднородная часть). Для больших времен вся зависимость от

начальные условия исчезают, и состояния становятся идентичными x = y (это также может

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

ω

ε

Рисунок 15.1. Регион

Периодические режимы (обозначены

Черные точки) в принудительном

Система Лоренца (15.1) в

Плоскость параметров

Принуждение. Мы начали

Моделирование от

Частные начальные условия

x = y = 0,001, z = 0, поэтому

Что возможное

мультистабильность (например,

Сосуществование периодических и

Хаотические решения) не

Раскрытый.

–20

–10

0

10

20

Икс

10

30

50

z

–20 –10 0

10 20 30

Икс

0

25

50

z

а)

(б)

Рисунок 15.2. Два периодических режима в вынужденной системе Лоренца. а) ε = 60, ω = 10.

б) ε = 80, ω = 4.

Стр. Решебника 365

Синхронизация шумным форсированием

343

Видно из уравнения для разности x - y). По сути, то же самое происходит в

нелинейные системы тоже, но задача определения устойчивости менее тривиальна.

Синхронизация по обычному шуму происходит без прямого взаимодействия между

Осцилляторов и не зависит от количества осцилляторов. Таким образом, тот же эффект

Будет наблюдаться для любого большого ансамбля идентичных нелинейных систем, управляемых

Тот же шум: все системы будут синхронизироваться, если показатель Ляпунова отрицателен.

Ниже обсуждаются случаи зашумленных вынужденных периодических и хаотических колебаний.

Шумные вынужденные периодические колебания

Мы уже обсуждали влияние шума на периодические колебания в главе 9.

Там мы изучали диффузионные свойства фазы; теперь основные объекты нашей

Интерес представляют свойства устойчивости динамики. Они нетривиальны, потому что

Автономный периодический осциллятор имеет нулевой показатель Ляпунова, соответствующий

Сдвиг фазы. При шумной внешней силе этот показатель обычно отличен от нуля, и

Главный вопрос - положительный он или отрицательный.

Как указано в разделе 9.1, простейшее уравнение фазовой динамики в

Наличие шума читает

d φ

dt = ω 0 + ξ (t).

Правая часть не зависит от значения фазы и, следовательно, ляпуновской

экспонента обращается в нуль, λ = 〈 d ˙φ / d φ 〉 = 0. Другими словами, фаза остается нейтральной.

К возмущениям начальных условий. Это вырождение исчезает, если принуждение

член зависит от фазы (ср. уравнение (9.1)):

d φ

dt = ω 0 + ε Q (φ, ξ (t)),

где ε характеризуетамплитудувоздействия. Таким образом, в целом можно ожидать

Либо положительный, либо отрицательный показатель Ляпунова.

В качестве частного простого примера автогенератора, управляемого шумом, мы возьмем

Обобщение модели с импульсным управлением, рассмотренной в разделе 7.3.3. Там у нас было

осциллятор форсируется периодической последовательностью δ - импульсов (7.64). Теперьрассмотрим

Случайная последовательность импульсов

p (t) =

∞

∑

п = −∞

ξ n δ (t - t n),

(15.2)

со случайными амплитудами ξ n и применяемыми в случайные моменты времени t n. Очевидная модификация

Отображения окружности (7.68) дает зашумленное отображение (здесь для простоты мы берем исчезающую

параметр α = 0)

φ n +1 знак равно φ n + ω 0 T n + εξ n cos φ n.

(15,3)

Из-за случайности временных интервалов T n и амплитуд импульсов ξ n,

Эволюция фазы во времени нерегулярна, поэтому о синхронизации вряд ли можно говорить

Стр. Решебника 366

344

Синхронизация сложной динамики внешними силами

Или фазовая синхронизация в обычном смысле. Однако мы покажем, что фаза может

Адаптироваться к внешней силе и в этом смысле некоторые функции синхронизации

Действительно появляются.

Вычислим чувствительность фазы φ n к изменению начальной фазы φ 0.

Это не что иное, как обычный расчет показателя Ляпунова:

λ =

〈 Ln | d φ n +1 / d φ n | 〉

〈 T 〉

Знак равно

〈 Ln | 1 - εξ sin φ | 〉

〈 T 〉

.

(15,4)

Здесь 〈 T 〉 - средний временной интервал между последовательными импульсами. Зависимость от

амплитуда силы ε (рис. 15.3) немонотонна: длямалыхамплитудпоказательстепени