Вероятность p превышает критическое значение p c . Синхронизирующий переход направлен.

тип перколяции (см., например, [Grassberger 1995] и ссылки в нем): сайты, где

Состояния двух клеточных автоматов различны и составляют пространственно-временную область 2

То есть фрактал на пороге, конечный (т.е. заканчивающийся через конечное время) в синхронизированном

Состояние и бесконечное (с постоянной плотностью) в асинхронном состоянии.

14,4

Синхронизация как общее симметричное состояние

В предыдущем рассмотрении мы описали синхронизацию в физической ситуации.

Двух идентичных хаотических систем, которые синхронизируются из-за взаимного взаимодействия

Действие. В более общем контексте синхронизированное решение - это просто симметричное состояние,

И проблема состоит в том, чтобы определить, возможно ли это состояние и при каких условиях

Условия, которые он привлекает. Более того, мы можем столкнуться с ситуациями, когда мы не можем разделить

Вся система на взаимодействующие подсистемы, но такая же «синхронизация»

Все еще может произойти.

Предположим, у нас есть два набора переменных

х 1,..., х М

и y 1,..., y M

Которые управляются системой обыкновенных дифференциальных уравнений

Dx k

dt = F x

К (х, у, т),

Dy k

dt = F

y

k

(х, у, т),

(14.18)

где единственное предположение - существование симметричного хаотического решения x k (t) =

y k (t) = U k (t) для всех k. Обратите внимание, что мы не предполагаем, что вся система симметрична.

В контексте клеточных автоматов эта область называется кластером.

(б)

Икс

y

а)

Рисунок 14.4. Снимки реальной части поля a (x, y, t), которое определяется

комплексное уравнение Гинзбурга – Ландау (14.17). Панели (а) и (б) различаются величиной

константа диффузии d 1: в асинхронном состоянии (а) d 1 = 0,5, а в

синхронное (в направлении y) состояние (б) d 1 = 2. Остальные параметры c 1 = − 1 и

c 3 = 1,5 одинаковы для обоих случаев.

Стр. Решебника 358

336

Полная синхронизация II

(см., например, пример однонаправленной связи в Разделе 14.1.1 выше, где

Связь асимметрична, но, тем не менее, существует симметричное хаотическое решение), и мы

даже не предполагайте, что диагональ x k = y k инвариантна. Симметричное хаотическое состояние

Можно интерпретировать как синхронизированный, а его устойчивость к поперечным возмущениям

Для построения расчетов необходимо изучить линеаризацию (14.18). Некоторые линейные возмущения

Не нарушают симметрию, но те, что асимметричны, дают поперечные ляпуновские

экспоненты. Наибольший поперечный показатель степени определяет устойчивость симметричного состояния;

В зависимости от интересующих параметров это состояние может быть притягивающим или нет.

В качестве простого примера несимметричной системы рассмотрим популярную модель

Две связанные одномерные карты

х (t + 1) = f (x (t)) + ε 1 (y (t) - x (t)),

y (t + 1) = f (y (t)) + ε 2 (x (t) - y (t)).

Обратите внимание, что хотя связь выглядит линейной, на самом деле она имеет сложную природу и

не обязательно приводить к синхронизации. Устойчивость симметричного состояния x = y = U

относительно поперечных возмущений приводит к линейной задаче для v = δ x - δ y

v (t + 1) = v (t) [ f ′ (U (t)) - ε 1 - ε 2 ].

Таким образом, поперечный показатель Ляпунова равен

λ ⊥ = 〈 ln | f ′ (U (t)) - ε 1 - ε 2 | 〉.

Его зависимость от параметров ε 1,2 может быть нетривиальной; области отрицательных λ ⊥

Являются областями линейно устойчивой симметричной динамики. Простое выражение для

Поперечный показатель Ляпунова можно записать для связанных косых тентовых отображений (13.5)

(ср. (13.30))

λ ⊥ = a ln ∣∣

∣

∣

1

а - ε 1 - ε 2 ∣

∣

∣

∣

+ (1 - а) ln ∣∣

∣

∣

1

А - 1

- ε 1 - ε 2 ∣

∣

∣

∣

.

Этот пример показывает, что поперечный показатель не имеет прямого отношения к Lya-

Показатель Пунова симметричного хаоса.

Реплико-симметричные системы

Предложен один конкретный случай полной синхронизации в симметричных системах.

предложено Пекорой и Кэрроллом [1990]. Предположим, что у нас есть система ОДУ (14.9) и

Сделать копию одного (или нескольких) уравнений. Для простоты изложения пишем

Это для трехмерной автономной модели

˙ х = е х (х, у, z),

˙ y = f y (x, y, z),

˙ z = f z (x, y, z),

˙ z ′ = f z (x, y, z ′).

Стр. Решебника 359

Библиографические примечания

337

Здесь копия уравнения для z с той же функцией f z записана для нового

переменная z ′. Ясно, что симметричное состояние x = x 0 (t), y = y 0 (t), z = z ′ = z 0 (t) является

Всегда решение системы. Чтобы проверить устойчивость этого состояния, запишем

уравнение для малого отклонения v = z - z ′:

˙ v = f ′ z (x 0 (t), y 0 (t), z 0 (t)) v.

Линейное возмущение v экспоненциально нарастает со временем

v ∝ ехр (λ ⊥ t),