По параметрам карты наблюдается переход от положительного ляпунова к отрицательному.

Экспонента, т. е. переход от асинхронного состояния к синхронному.

Мы подчеркиваем, что уравнение. (15.5) очень похож на уравнение. (13.10), описывающий линейную

Этап синхронизации парных автономных хаотических отображений. Таким образом, весь

Статистическая теория, развитая в разделе 13.3, применима также и для зашумленных систем. В

При переходе к синхронизации наблюдается модуляционная перемежаемость с

Свойства, описанные в Разделе 13.3. В частности, числовая ловушка, описанная в гл.

Пункт 13.3 существует и для идентичных систем, управляемых шумом: даже если показатель Ляпунова

Положительно, две (или многие) системы могут отображаться как синхронные при численном моделировании

Если их состояния в какой-то момент времени совпадают в компьютерном представлении (т. е. если

Расстояние меньше числовой точности). Этот эффект, конечно, пропадает.

Если учесть небольшое несовпадение.

Отличие от чисто детерминированного случая состоит в том, что здесь мы не можем рассматривать

Топологические свойства аттракторов в фазовом пространстве, как мы это делали в разделе 13.4.

Действительно, в зашумленном случае топологические структуры детерминированной системы (периодические

Орбиты и т. д.) размазаны. Нетривиальные топологические структуры можно наблюдать, если

Принуждение является хаотическим, как описано в Разделе 15.3.

15.3

Синхронизация хаотических колебаний хаотическим

Принуждение

Полная синхронизация

Одна из возможных реализаций хаотического принуждения уже обсуждалась в главе 14.

Как однонаправленная муфта. Перепишем систему, определяемую оператором взаимодействия

(14.3) как

х (t + 1) = f (x (t)),

(15,7)

Стр. Решебника 369

Синхронизация хаотических колебаний хаотическим воздействием

347

y (t + 1) = (1 - ε) f (y (t)) + ε f (x (t)).

(15,8)

Хаотическая сила, порождаемая отображением (15.7), действует на систему (15.8) таким образом

что возможно полностью синхронное состояние y = x. Для стабильности син-

Хронического режима, мы снова можем использовать теорию, описанную в главах 13 и 14.

Экспериментальной реализации, не нужно строить две идентичные системы: это

Достаточно, чтобы записать сигнал, генерируемый хаотическим осциллятором, и использовать этот сигнал как

принуждение (см. [Tsukamoto et al. 1996, 1997]). Синхронизацию можно легко

Определяется как совпадение сформированного сигнала с форсированием.

Общая синхронизация

Полная синхронизация хаотическим форсированием возможна только тогда, когда система

Соблюдает симметрию, так что режим, в котором все переменные ведомого и ведущего

Системы равны можно. Если симметрии нет, возможно, что ведомый

Система следует за вождением, хотя и в более слабом смысле. Рассмотрим общий

ситуация с однонаправленной связью:

х (t + 1) = f (x (t)),

(15,9)

у (т + 1) = г (х (т), у (т)),

(15.10)

Где x и y - векторы. Здесь переменные x принадлежат движущей системе, а

Переменные y описывают ведомый. Мы не предполагаем симметрии между x

И y, причем размеры этих двух частей могут быть разными. Когда состояние

Ведомая система y полностью определяется состоянием приводной системы, одна

Говорит об общей синхронизации. На математическом языке существование

Взаимно однозначная (инъективная) функция, которая отображает x в y

у = Н (х)

(15.11)

Предполагается. Технически иногда удобнее установить связь между

Между y (t + 1) и x (t) записывается y (t + 1) = ˜ H (x (t)) (см., например, рис. 15.5 ниже),

Поскольку эти две переменные напрямую связаны уравнением. (15.10). Если карта (15.9)

Обратимо, это эквивалентно определению (15.11).

Другой способ охарактеризовать обобщенную синхронизацию - создать копию

Управляемая система. В этом случае мы расширим уравнения. (15.9) и (15.10) до

х (t + 1) = f (x (t)),

у (т + 1) = г (х, у),

y ′ (t + 1) = g (x, y ′).

Это можно рассматривать как пример синхронизации реплик, обсуждаемый в разд.

Пункт 14.4: в случае устойчивого ответа наблюдается симметричное решение с

у = у '.

Стр. Решебника 370

348

Синхронизация сложной динамики внешними силами

Негладкая обобщенная синхронизация

Уравнение (15.10) описывает динамику вынужденной системы, и ясно, что

Состояние y следует за форсированием x независимо от начального условия y (0), только если

Динамика y устойчива, т. е. максимальный показатель Ляпунова, соответствующий y

Отрицательный. Это условие необходимо, но недостаточно. Действительно, может случиться так, что