Отрицательный; для больших амплитуд положительно.

Чтобы показать эти свойства аналитически, при малых ε мыможемразложить (15.4) натейлоровский

ряд по ε, чтобыполучить

λ ≈

1

〈 T 〉 (

− ε 〈 ξ sin φ 〉 -

ε 2

2 〈 ξ

2 sin 2 φ 〉).

В общем, чтобы выполнить усреднение, нужно знать распределение вероятностей

фазы. При малых ε ибольшихфлуктуацияхвременныхинтервалов T n это распределение

Ция почти однородна, поэтому первый член обращается в нуль, а главный член в

Показатель Ляпунова отрицательный:

λ ∝ -

ε 2

〈 T 〉

.

Отрицательный показатель Ляпунова означает, что через конечное время фаза осциллятора

«Забывает» свое начальное значение и следует за внешней силой (рис. 15.4). Мы даем

После объяснения, почему показатель Ляпунова отрицательный. Позволять

Будем рассматривать случайную последовательность импульсов как состоящую из периодических пятен. Для каждого

Периодический патч, согласно теории фазовой синхронизации (глава 7), либо син-

хронизованный (с отрицательным показателем Ляпунова) или квазипериодический (с нулевым показателем Ляпунова)

экспонента) состояние можно наблюдать. Случайным образом «переключая» эти патчи, мы «смешиваем» их

Две ситуации, так что средний показатель отрицательный.

0

1

2

3

4

ε

–0,2

0,0

0,2

0,4

λ

Рисунок 15.3. Ляпунов

показатель λ случайного

Отображение (15.3) как функция

амплитуды шума ε.

Временные интервалы ω 0 T n равны

Независимый случайный

Числа распределены

Экспоненциально со средним

Значение 1; пульс

амплитуды ξ n имеют

Гауссово распределение с

Нулевое среднее и единичная дисперсия.

Стр. Решебника 367

Синхронизация шумным форсированием

345

Для большой амплитуды импульсов ε можноиспользоватьдругоеприближение 2, пренебрегая

постоянный член под логарифмом в (15.4):

λ ≈

〈 Ln | εξ sin φ | 〉

〈 T 〉

∝

ln ε + 〈 ln | ξ sin φ | 〉

〈 T 〉

.

Таким образом, показатель Ляпунова положителен при больших ε. Дляоднократногопринудительногопериодического

Осциллятор это не имеет никакого значения. Но если мы подготовим две реплики, управляемые системой

С одинаковым шумом и близкими (даже почти одинаковыми) начальными условиями

Разница между этими системами будет расти в геометрической прогрессии, и через короткое время они

Будет демонстрировать практически независимые колебания, т. е. десинхронизацию.

В заключение отметим, что в математической литературе

Объект, который появляется в процессе эволюции ансамбля идентичных систем, движимых

тот же шум называется случайным аттрактором [Crauel and Flandoli 1994; Арнольд 1998].

Синхронизация хаотических колебаний зашумленными

Принуждение

Наибольший показатель Ляпунова хаотического движения положительный, но внешний шум

Может сделать его отрицательным. Один из возможных механизмов - это изменение устойчивости, вызванное

Координатно-зависимая (модуляционная) зашумленная сила, как в случае периодических колебаний

Описано в Разделе 15.2.1. Другая возможность состоит в том, что шум не влияет на стабильность.

Непосредственно, но изменяет распределение в фазовом пространстве. Из-за этого изменения некоторые

«Стабильные» области в фазовом пространстве можно посещать чаще, что снижает

Наибольший показатель Ляпунова. Этот механизм работает даже с аддитивным шумом. Позволять

Рассмотрим в качестве примера две одномерные карты, подверженные одинаковому шуму:

Хотя при выводе (15.3) мы предполагали малость воздействия, мы можем учесть

случайное отображение (15.3) как самостоятельную модель и исследуем его при произвольных значениях параметров.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0

π

2 π

φ

k

Время

Рисунок 15.4. Эволюция

Ансамбль 500

Осцилляторы, подчиняющиеся

Случайное отображение (15.3). В

Фазы показаны на каждом

Десятая итерация

Перекладина. В

Статистические распределения

T n, ξ n такие, как на рис. 15.3.

Амплитуда воздействия

ε = 0,4 соответствует

Отрицательный Ляпунов

Экспонента: все изначально

Равномерно распределенные фазы

после ≈ 300 итераций

Коллапс до единого состояния.

Стр. Решебника 368

346

Синхронизация сложной динамики внешними силами

х (t + 1) = f (x (t)) + ξ (t),

y (t + 1) = f (y (t)) + ξ (t).

Ясно, что синхронное состояние x (t) = y (t) = U (t) является решением. Чтобы найти свою

устойчивости, мы смотрим на небольшую разницу между переменными v = x - y, подчиняющимися

Линеаризованное уравнение

v (t + 1) = f ′ (U (t)) v (t).

(15.5)

Это в точности линеаризованное уравнение для возмущений в единственном отображении, которое

Скорость расходимости - показатель Ляпунова

λ = 〈 ln | f ′ (U) | 〉.

(15,6)

Усреднение в (15.6) проводится по инвариантной мере в отображении

С шумом и зависит от интенсивности шума. Таким образом, изменяя шум и / или