Аналогичны таковым в зашумленных периодических колебаниях. Однако следует знать, что

«зашумленный» член F (A) вряд ли может быть вычислен явно и определенно не может быть

рассматривается как гауссовский δ - коррелированныйшум, какобычнопредполагаетсявстатистических

Обработка зашумленных генераторов (см. главу 9).

Стр. Решебника 277

Синхронизация хаотических осцилляторов

255

10.2

Синхронизация хаотических осцилляторов

В этом разделе мы описываем синхронизирующие свойства хаотических систем, для которых

Фаза четко определена и может быть вычислена напрямую. Следовательно, синхронизация

(называется фазовой синхронизацией, чтобы отличать ее от других типов синхронизации.

Хаотических систем, рассмотренных в части III) можно охарактеризовать

Способ с точки зрения фазовой и частотной синхронизации. Средняя наблюдаемая частота

Осциллятор, таким образом, можно легко рассчитать как

= lim

t →∞

2 π

N t

т

,

(10.9)

Где N t - количество пересечений фазовой траектории с траекторией Пуанкаре.

сечение во время наблюдения t. Этот метод также можно применить к временным рядам;

в простейшем случае можно, например, взять за N t количество максимумов подходящего

колебательная наблюдаемая (x (t) для системы Ресслера и z (t) для системы Лоренца).

Как и в случае периодических колебаний, здесь описывается синхронизация

Периодической внешней силой, а также взаимной синхронизацией связанных систем.

Кроме того, мы обсуждаем, как можно синхронизировать внешний осциллятор.

Характеризуется косвенно, т. е. без неявного вычисления фазы. Этот персонаж-

Теризация, не зависящая от определения фазы, также подходит для исследования

Хаотических систем с плохо определенной фазой.

–12

–10

–8

–6

Икс

–12

–10

–8

–6

M

Р (х)

5,6

5,8

6.0

6.2

6.4

Т (х)

а)

15

20

25

30

ты

15

20

25

30

M

P (u)

(б)

0,5

1.0

1.5

2.0

Т (и)

Рисунок 10.5. Времена возврата и отображения Пуанкаре для аттракторов (а)

Ресслера (уравнения (10.2)) и (б) системы Лоренца (уравнения (10.4)) (поверхности

сечения изображены на рис. 10.1 и 10.3). Графики выглядят как функции одного

Переменная, но на самом деле это проекции двумерных функций (внутренние

Канторовская структура очень тонкая и едва заметна; поэтому мы сохраняем то же самое

обозначение M (·) для отображения). Время возврата системы Лоренца имеет

логарифмическая особенность при u ≈ 23.

Стр. Решебника 278

256

Фазовая синхронизация хаотических систем

Синхронизация фаз внешней силой

Система Рёсслера

Начнем с модели Рёсслера (10.2) и добавим периодическую внешнюю силу к уравнению

для x:

˙ x = - y - z + ε cos ω t,

˙ у = х + 0,15 у,

˙ z = 0,4 + z (х - 8,5).

(10.10)

Расчет наблюдаемой частоты

В зависимости от параметров внешнего

силы, мы получим (показанное на рис. 10.6) плато, на котором

= ω. Этакартинаоченьпохожа

К обычной картине основной области синхронизации для периодических осцилляторов. это

Примечательно, что относительно небольшая сила способна заблокировать частоту без большого

влияние на амплитуду. Чтобы проиллюстрировать это, мы показываем на рис. 10.7 стробоскопический (взятый

С периодом силы) графики фазовой плоскости (x, y). В синхронизации

Области точки сосредоточены по фазе и распределены по амплитуде; в не-

В синхронном случае наблюдаются широкие распределения как по фазе, так и по амплитуде.

Результаты, представленные на рис. 10.6 и 10.7 показывают, что даже слабая периодическая сила

Может увлекать фазу хаотического осциллятора так же, как он увлекает фазу

Периодического. Влияние на амплитуду относительно невелико: сила

Не подавлять хаос. Это также видно из расчетов Ляпуновского

Экспоненты. Наибольший показатель Ляпунова остается в основном положительным (за исключением не-

избегаемые периодические окна) во всем диапазоне параметров рис. 10.6. Снаружи

В области синхронизации второй показатель Ляпунова практически равен нулю, а

Внутри он отрицательный. Следовательно, второй показатель Ляпунова обладает теми же свойствами

Как наибольший показатель в системе с периодическими колебаниями. Это демонстрирует

Относительная независимость динамики амплитуды и фазы при малых

Внешние силы.

а)

0,9 0,95

1 1.051.1 1.15

ω

0

0,2

0,4

0,6

0,8

ε

–0,1

0

0,1

0,2

Ω - ω

(б)

1

1.02

1.04

1.06

ω

0

0,05

0,1

ε

–0,02

0

0,02

0,04

Ω - ω

Рисунок 10.6. Синхронизация в системе Рёсслера (10.10). а) наблюдаемые

Частота как функция амплитуды и частоты внешней силы.

(б) Увеличение области малых амплитуд воздействия показывает, что

Порог синхронизации очень маленький; это означает, что влияние хаотического

Амплитуды на фазовой динамике (эффективный шум) слабый.

Стр. Решебника 279

Синхронизация хаотических осцилляторов

257

Система Лоренца