Область формирования, где частота колебаний точно совпадает с частотой колебаний

Внешней силы, но и области синхронизации высокого порядка типа

ω =

п

q

,

Где наблюдаемая частота находится в рациональном отношении к внешней частоте. Прак-

Как правило, чем больше числа p и q, тем уже область фазовой синхронизации, и

Даже в численных экспериментах только синхронные режимы с малым р и д могут быть

Наблюдаемый.

7.3.3

Карта кольца

При выводе карты окружности (раздел 7.3.1) мы использовали фазовое уравнение (7.48)

что справедливо только для малых амплитуд воздействия ε. Теперьпокажем, что

Круговая карта имеет гораздо больший диапазон действия и правильно описывает ситуацию

Также для средней и большой форсировки. Здесь нельзя пренебрегать вариациями

Амплитуда (т. е. любая переменная, поперечная к предельному циклу, см. раздел 7.1) в полном объеме

Система (7.5). Для простоты рассмотрения (и особенно графического представления)

Стр. Решебника 233

Карта окружности и кольца

211

мы рассматриваем случай двух переменных x = (x 1, x 2). Затем стробоскопическое наблюдение

С периодом внешней силы дает двумерную карту

х (t) → х (t + T).

Вблизи предельного цикла невынужденной системы эта карта имеет простую структуру: сжатие

В поперечном направлении, а фазовая динамика по карте окружности по

Фазовое направление. Сжатие в направлении амплитуды означает, что мы можем ограничить

Наше внимание к полосе вокруг предельного цикла, которая приводит к карте кольца.

Динамика отображения окружности может быть периодической или квазипериодической, соответственно

Соответствующие два режима на карте кольцевого пространства показаны на рис. 7.17. В обоих случаях все

точки из кольца притягиваются к замкнутой инвариантной кривой, показанной на рис. 7.17.

Жирным шрифтом. Для принудительного обращения в нуль это сам предельный цикл, а для небольшого принуждения - это

кривая слегка возмущается, но остается инвариантной (т. е. отображается сама в себя). 12 В

в квазипериодическом режиме вращение точек инвариантной кривой топологически

Эквивалентен сдвигу окружности: все траектории плотные, а динамика эргодична. В

в периодическом случае существует как устойчивая, так и неустойчивая периодическая орбита на инварианте

кривой (на рис. 7.17 это неподвижные точки), а устойчивая орбита - конечная минимальная

аттрактор. Инвариантная кривая здесь образована неустойчивыми многообразиями (сепаратрисами)

неустойчивая периодическая орбита. Существование инвариантной кривой в стробоскопическом

Карта кольца означает, что в фазовом пространстве исходной системы с непрерывным временем

существует двумерная инвариантная поверхность, называемая инвариантным тором (поскольку

Динамика периодична по фазам системы и внешнего

сила).

12 Обратите внимание, что инвариантность не означает квазипериодической динамики. В квазипериодическом случае есть

нет инвариантных подмножеств на кривой, в то время как для периодической динамики устойчивая и неустойчивая орбиты

на кривой также инвариантны.

(б)

а)

Рисунок 7.17. Структура карты кольца для квазипериодического вращения (а) и

периодическая динамика (б). Стрелки показывают направление сжатия отображения.

(см. Рис. 7.1); устойчивые и неустойчивые неподвижные точки обозначены закрашенными и

Открытый кружок соответственно.

Стр. Решебника 234

212

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Существование устойчивой (в поперечном направлении) инвариантной кривой оправдывает

Валидность круговой карты. Действительно, только динамика на этой кривой притяжения является

Асимптотически важна для больших времен, и на кривой мы имеем в точности отображение

круга на себя. При большом форсировании инвариантная кривая разрушается, но раньше

описывая его судьбу, мы приводим пример карты кольца.

Пример: автогенератор с пиком.

Один простой способ получить стробоскопическую карту аналитически - рассмотреть кусочно

Решаемая модель. Внешнюю силу можно аппроксимировать кусочно-постоянной

Функции, решите уравнения движения в каждом временном интервале, в котором действует сила.

Stant, а затем получить отображение кольца путем сопоставления решений. Мы рассматриваем

частный простой пример, а именно T -периодическая последовательность δ - импульсов:

p (t) =

∞

∑

п = −∞

δ (t - нТл).

(7,64)