Количество баллов коразмерности-2 и коразмерности-3. Дано подробное описание

Левина и Непомнящий [1986] и Глендиннинг и Проктор [1993] (обратите внимание, что

Глендиннинг и Проктор [1993] использовали нормализацию уравнения. (7.43) другое

от нашего). Из их исследований следует, что при малой неизохронности α 2 <1/3

бифуркационная структура остается качественно такой же, как и в изохронном случае α = 0;

новые бифуркации появляются только при больших значениях α. Мыобсуждаемздесьтолькослучай

Очень малая амплитуда внешней силы, когда описанное фазовое приближение

В разделе 7.1 остается в силе. Применение фазового приближения - простое упражнение.

К уравнению. (7.43), ср. (7.16); итоговое уравнение для фазы имеет вид

˙φ = −ν - α - e (cos φ + α sin φ) = −ν - α - e √ 1 + α 2 cos (φ - φ 0)

(7,47)

где tg φ 0 = α. Этофазовоеуравнениеопределяетобластьсинхронизации

− α - e √ 1 + α 2 < ν < −α + e √ 1 + α 2.

Мы видим, что синхронизация происходит в окрестности собственной частоты

предельный цикл, который отличается от «линейной» частоты ω 0 (см. уравнение (7.36)). Естественный

Ω ψ

Ω ψ

А

ν

ν

ν

а)

(б)

ν

м

м

А

Рисунок 7.11. Схематическое изображение перехода синхронизации для малых (а)

большие (б) амплитуды воздействия. Частота биений ψ = 〈 ˙ψ 〉 и степень

зависимость амплитудной модуляции A m от расстройки ν. Область

Синхронизация отображается жирной горизонтальной полосой. При слабом форсировании ритм

частота на границе синхронизации подчиняется закону квадратного корня (см. уравнение 7.35);

Амплитуда биений имеет конечную величину и остается относительно небольшой.

Напротив, при сильном воздействии частота биений выглядит как конечное значение,

Тогда как амплитудная модуляция плавно увеличивается. Обратите внимание, что амплитуда

Модуляция уже наблюдается в области синхронизации.

Стр. Решебника 221

Карта окружности и кольца

199

частота равна ω 0 - α µвисходныхкоординатахи ​​ равна −α вовращающейсясистемеотсчета.

В котором уравнение. (7.43) записано. Еще один интересный факт: для неизохронных

Колебания область синхронизации больше, чем для изохронных. Этот эффект

Можно объяснить следующим образом: внешняя сила двояко влияет на фазу.

Во-первых, он изменяет фазу напрямую, и это действие описывается как α - независимый

член e cos φ вуравнении. (7,47). Во - вторых, силаизменяетамплитуду, иэтоизменениеснова

Результаты из-за неизохронности также в фазовом сдвиге; этот эффект описывается термином

пропорциональна e α sin φ вуравнении. (7,47). Эти два действия имеют разную зависимость от φ,

Так что результирующий фазовый сдвиг между фазой синхронизированных колебаний и

фаза внешней силы зависит от параметра α.

7.3

Карта круга и кольца

В предыдущих разделах мы использовали различные приближения для описания эффекта

Внешняя сила на автогенераторах. Здесь мы представляем более общий подход

Который не ограничивается малыми силами или слабыми нелинейностями. Таким образом, мы будем

Может дать общее описание синхронизации, но это описание будет только

ω

Частота

Спектр

ν

Рисунок 7.12. Эволюция спектра при потере синхронизации для постоянной

Малая амплитуда воздействия и переменная отстройка. Синхронизированное движение имеет только

один пик на внешней частоте ω. Припереходеновыйпик (иего

Гармоники) появляется с очень замкнутой частотой; с увеличением частоты

отстройка этого пика удаляется от ω. Горизонтальнаяосьсмещенапроизвольно (в

В частности, начало этой оси не соответствует нулевой частоте).

Стр. Решебника 222

200

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

Качественный: не позволяет вывести, скажем, границы области синхронизации

Для заданных уравнений движения.

Этот общий подход основан на построении карты кольца, которая определяет

Записывает динамику периодически форсированного осциллятора вблизи предела

Цикл. Поскольку динамика в отсутствие форсирования известна, структура этого

Карту можно получить только из соображений непрерывности. В некоторой области параметров

в частности, при небольшом воздействии карта имеет притягивающую инвариантную кривую, так что

Можно рассмотреть динамику на этой кривой и получить одномерную карту окружности.

Общие свойства круговой карты были предметом тщательных математических исследований.

Рассмотрение, в результате которого получилась хорошая глубокая теория, которая также важна в других областях.