Увлекается периодической силой, стробоскопически (с периодом силы)

наблюдаемая фаза имеет определенное значение (d). Эта идеальная картина частично испорчена

Ограниченный шум, но, тем не менее, увлечение возможно: флуктуации фазы

ограничены (e). Хаотический осциллятор (в) похож на зашумленный (б); здесь

Диффузия фазы также может быть подавлена, приводя к состоянию с хаотическим

Амплитуда, но ограниченная фаза (f).

Стр. Решебника 169

Полная синхронизация хаотических осцилляторов

147

Интенсивности света, излучаемого трубкой, и фазовый портрет системы нанесен на

запаздывающие координаты (I (t), I (t + τ)). 5 Систематическое изменение амплитуды и

Частота внешней стимуляции позволяет определить область синхронизации.

Форма этой области, представленная на рис. 5 в [Ticos et al. 2000], аналогичен

показано на рис. 3.39: очень слабая сила не может преодолеть фазовую диффузию, и даже

При исчезновении расстройки синхронизация невозможна.

В заключение этого раздела отметим, что взаимная фазовая синхронизация

Возможны также хаотические генераторы. Если две хаотические системы имеют разные параметры,

То и их средние частоты тоже разные. Связь между системами в-

Вызывает некоторое взаимодействие между фазами, так что они могут быть взаимно увлечены.

Как и в случае периодических генераторов, малая связь влияет только на фазы. Как

В результате два синхронизированных генератора имеют одинаковые средние частоты, но каждая система

Сохраняет свой хаос по амплитуде. Обычно для хаотических систем можно

наблюдаем все эффекты, которые мы описали для периодических генераторов с шумом, например,

образование кластеров в колеблющейся решетке, или синхронизация Курамото

Переход в ансамбле.

5,3

Полная синхронизация хаотических осцилляторов

Сильная взаимная связь хаотических осцилляторов приводит к их полной синхронизации.

Тион. В отличие от фазовой синхронизации, ее можно наблюдать в любых хаотических системах, но не в

Обязательно автономные, в частности, в генераторах с периодическим возбуждением или в дискретных

Системы времени (карты). На самом деле это явление не близко к классическому синхро-

Периодических колебаний, так как здесь нет настройки ритмов (и,

Время здесь выражено в единицах частоты дискретизации. Для техники аттрактора

реконструкция из скалярного временного ряда см., например, [Abarbanel 1996; Kantz and Schreiber 1997].

–0,01

0

0,01

–0,01

0

0,01

В)

Я (п + 12)

а)

–0,01

0

0,01

–0,01

0

0,01

В)

Я (п + 12)

(б)

Рисунок 5.10. Стробоскопическое наблюдение невынужденного (а) и вынужденного (б) хаотического газа

Увольнять. Аттрактор показан серым цветом, а состояния системы, наблюдаемые с помощью

период действия силы показан кружками. Концентрация точек в (б)

указывает на фазовую синхронизацию (см. рис. 5.8 и 5.9). Из [Rosa Jr. et al. 2000].

Стр. Решебника 170

148

Синхронизация хаотических систем

в частности, мы не можем поместить его в рамки, показанные на рис. 5.9). Вместо этого com-

Полная синхронизация означает подавление различий в связанных идентичных системах.

Следовательно, этот эффект нельзя назвать захватом или блокировкой; это ближе к

Наступление симметрии. 6

5.3.1

Полная синхронизация идентичных систем. An

пример: синхронизация двух лазеров

Для описания этого явления возьмем две одинаковые хаотические системы (например, две

Системы Лоренца) и соедините их таким образом, чтобы сцепление

соответствующие переменные равны. Мы используем индексы 1, 2 для описания двух систем;

привлекательная связь имеет тенденцию вносить различия | х 1 - х 2 |, | у 1 - у 2 | и | z 1 - z 2 |

Меньше. Кроме того, мы требуем, чтобы сила связи была пропорциональна разностям

Состояний двух осцилляторов (т.е. к x 1 - x 2, y 1 - y 2, z 1 - z 2) и обращается в нуль при совместном

падающие состояния x 1 = x 2 и т. д. Таким образом, в случае полного совпадения переменных,

Каждая система не чувствует другую и совершает хаотическое движение, как если бы

Несвязанный. Поскольку системы идентичны, совпадение состояний сохраняется.

с течением времени. Именно такая ситуация и называется полной синхронизацией:

Состояния двух систем совпадают и хаотически меняются во времени.

Ясно, что полностью синхронизированное состояние может возникнуть при любом значении связи.

Прочность, но только при достаточно сильной связи можно ожидать, что она будет стабильной. Действительно,

слегка возмущаем полную идентичность состояний, т. е. положим x 1 = x 2 и т. д. Что будет

Бывает небольшая разница х 2 - х 1? Если связи нет, ответ можно вывести