Нелинейной динамики (теория Колмогорова – Арнольда – Мозера, ренормгруппа,

так далее.). При большом воздействии инвариантная кривая разрушается, и приходится анализировать полную

Карта кольца. Этот разрыв обычно сопровождается возникновением хаоса, но

Подробное описание этих режимов выходит за рамки книги.

В этом разделе мы очерчиваем свойства круговой карты, останавливаясь на тех, которые

необходимы для синхронизации. Далее мы приводим пример карты кольца и

Обсудить, как синхронизация может быть потеряна для очень больших форсингов из-за внешнего вида

Хаоса.

ω

Частота

Спектр

ν

Рисунок 7.13. Эволюция спектра при потере синхронизации для большого

Постоянная амплитуда воздействия и переменная расстройка. На переходе новый пик

появляется на конечном расстоянии от исходного пика при ω; свозрастающейчастотой

при расстройке его амплитуда растет, а амплитуда пика на ω уменьшается. В

расположение осей как на рис. 7.12.

Стр. Решебника 223

Карта окружности и кольца

201

7.3.1

Карта круга: вывод и примеры

В разделе 7.1 мы показали, что уравнения движения общего периодически вынужденного

Динамическая система (7.5) в окрестности предельного цикла может быть редуцирована при малом воздействии

амплитуды ε, кфазовомууравнению (7.15)

d φ

dt = ω 0 + ε Q (φ, t).

(7,48)

В дополнение к предыдущему обсуждению мы изучаем это уравнение в следующих

Без каких-либо дополнительных упрощений. Более того, мы не будем использовать малость

параметр ε, норассмотримуравнение. (7.48) вдовольнообщемконтексте. Этобудет

Обосновано в разделе 7.3.3.

Правая часть уравнения. (7.48) является 2 π - периодическойфункциейфазыфи Т -периодическим

Функция времени t. Таким образом, фазовое пространство динамической системы (7.48) является двумерным.

мерный тор 0 ≤ φ <2 π, 0 ≤ t < T. Эта двумерная система с

Непрерывное время можно свести к одномерному отображению. В случае явного

Периодичности по времени построение такого отображения особенно просто: можно взять

Стробоскопическое отображение с временной интервал T. Фиксация некоторой фазы внешней силы

выбирая t = t 0, можно найти взаимно однозначное соответствие между точками φ (t 0)

и φ (t 0 + T). Таким образом определяется гладкая обратимая окружность:

φ n +1 знак равно φ n + ω 0 T + ε F (φ n).

(7,49)

Сделаем несколько замечаний.

(i) Карта называется круговой, потому что она определена на окружности 0 ≤ φ <2 π.

Формально к правой стороне следует также применить операцию по модулю 2 π, номы

Опустим запись этой операции для простоты изложения.

(ii) Отображение зависит от выбора момента времени t 0 (т. е. от фазы

Внешняя сила, выбранная для стробоскопических наблюдений). На самом деле это не так

критически важно: все карты для различных вариантов t 0 эквивалентны, поскольку они связаны

гладким преобразованием φ (t 0) → φ (t ′ 0) через решения (7.48).

(iii) Если ε = 0, мыполучаем сдвиг окружности. Это описывает стробоскопические наблюдения

Движение по предельному циклу. Динамика смещения круга зависит от

параметр ω 0 T и тривиальны. Если фактор T / T 0 рациональный, т. Е.

ω 0 T = 2 π p / q, каждая точка окружности периодична с периодом q. Если соотношение

T / T 0 иррационально, тогда мы имеем квазипериодическое вращение на окружности. Обратите внимание, что

Тогда у нас есть несколько сложное описание невынужденного периодического колебания

В связи с тем, что мы наблюдаем систему стробоскопически с интервалом времени

T, который, как правило, не связан с периодом T 0. Наш стробоскопический подход

Таким образом подходит для различения несинхронизированных (квазипериодических)

И синхронизированные (периодические с периодом силы или в рациональном отношении

К этому периоду) движения.

Стр. Решебника 224

202

Синхронизация периодических осцилляторов периодическим внешним воздействием.

(iv) Форма отображения окружности (7.49) не является самой общей. Из уравнения. (7,48)

следует только, что отображение φ n +1 = (φ n) является монотонно возрастающим

функция, удовлетворяющая (φ + 2 π) = (φ) + 2 π. В (7.49) мывыделили

Член сдвига и нелинейная функция, чтобы подчеркнуть физический смысл

параметры ω 0 T и ε: онисоответствуютчастотеиамплитуде

Внешней силы соответственно. Это разделение, строго говоря, действительно

только при малых ε, иначекаксдвиг, такинелинейныйчлензависятот

Как амплитуда, так и частота силы. Точное соотношение должно быть

Установлен в каждой конкретной проблеме.