Фазовая синхронизация хаотических осцилляторов

143

оценивается как 〈 ω 〉 = 2 π N (τ) / τ. Основнаяидеяфазовойсинхронизациихаотического

Осцилляторов заключается в том, что эта частота может быть увлечена периодической внешней силой или

Связь с другим хаотическим осциллятором. Чтобы обсудить это подробно, полезно определить

Фаза хаотического осциллятора.

Действуя в том же духе, что и мы, вводя фазу для периодических колебаний.

Мы говорим, что каждый цикл на рис. 5.5 соответствует фазовому усилению 2 π. С использованием

Отображение Пуанкаре, можно сказать, что каждое прокалывание поверхности Пуанкаре сечения

Соответствует некоторой конкретной фазе (естественно, мы будем считать ее равной 0). В течение

При вращении между последовательными проколами фаза увеличивается на 2 π. Потомучтовозвращение

время нерегулярно, мгновенная частота (определяемая как обратное время возврата) равна

Колеблющееся количество. Другими словами, фаза вращается неравномерно, как в случае

Периодических осцилляторов, но он испытывает нерегулярные замедления и ускорения.

В результате происходит диффузия фазы, как в случае периодического генератора, управляемого шумом.

(см. раздел 3.4). Общую фазовую динамику можно представить как комбинацию

Два процесса: вращения со средней частотой и диффузия (случайное блуждание), с

Скорость распространения пропорциональна изменению времен возврата. Мы

иллюстрируют эту динамику на рис. 5.6 для сравнения с динамикой зашумленного

Генератор показан на рис. 3.35.

Подчеркнем, что диффузия фазы слабее, чем дивергенция

Соседние траектории из-за внутренней неустойчивости хаоса. В беспристрастной диффузии

отклонение от исходного положения примерно пропорционально квадрату

Корень времени; этот же закон описывает расстояние между двумя соседними точками.

В противоположность этому, нестабильность является экспоненциально быстрой. Более того, если разница

0

10

20

30

ты

0

20

40

z

36

38

40

Время

Т я + 1

Т я

а)

(б)

Рисунок 5.5. (а) В переменных z, u динамика модели Лоренца имеет вид

вращений вокруг центра (при u ≈ 12, z ≈ 27) снерегулярнойамплитудойи

нерегулярное время возврата. (b) Время возврата T i показано на графике зависимости z от времени в виде

Расстояние между максимумами; T i можно рассматривать как мгновенные периоды

Хаотическое колебание.

Стр. Решебника 166

144

Синхронизация хаотических систем

Между временами возврата мало, постоянная диффузии также может быть небольшой, в этом

Случае хаотические колебания проявляются в проекции фазовой плоскости как относительно регулярные

Вращения с хаотической модуляцией амплитуды. Такие колебания часто бывают

называется связным; у них есть резкий пик частоты в спектре мощности (пример

Является моделью Рёсслера (см. разделы 1.3 и 10.1)). Отметим также, что расчет

Фаза - это нелинейное преобразование или своего рода «нелинейная фильтрация». Действительно, в

При вычислении фазы мы пренебрегаем всеми вариациями амплитуды, которые обычно вносят вклад

К широкополосной части спектра мощности хаотической системы. Фазовая диффузия

Затем характеризует ширину спектрального пика на средней частоте.

Другой способ взглянуть на фазовую динамику хаотической системы - рассмотреть

Ансамбль (облако) начальных условий, и следовать за ним в фазовом пространстве. Как хаотично

Системы характеризуются смешиванием, первоначально локализованное облако в конечном итоге будет

Распространяется по хаотическому аттрактору. Это распространение включает в себя как быстрое расширение за счет

хаотическая неустойчивость и соответствующая фазе диффузия (рис. 5.7).

5.2.2

Увлечение периодической силой. Пример: принудительный

Хаотический плазменный разряд

Предположим теперь, что на хаотический осциллятор действует внешнее периодическое воздействие. в

в случае модели Лоренца можно, например, сделать нагрев периодическим во времени; такая сила

Периодически гоняет переменную z. Если период нагнетания близок к средней доходности

Времени, то продвинутые в фазе движения замедляются, а запаздывающие

Ускоряются. В результате фаза блокируется внешней силой, как показано на

Рис. 5.8. Синхронизацию можно также охарактеризовать как увлечение частоты:

Средняя частота хаотических колебаний совпадает (или почти совпадает) с

Частота внешней силы.