Так как это определяется типом бифуркации (а бифуркация остается седло-

тип узла также для умеренных амплитуд). Однако две другие основные особенности:

Немного изменен следующим образом.

(i) Границы области синхронизации перестают быть прямыми линиями для

умеренное ε, но, какправило, кривыелинии. Еслирезонансныечленыотсутствуютв

Рядами Фурье (7.18) они могут появиться в высших приближениях, т. Е. Как

слагаемые, пропорциональные ε 2, ε 3 и т. д. В этих случаях ширина синхронизации

область чрезвычайно мала при ε → 0.

В синхронном режиме разность фаз колебаний

φ ивнешняясилабольшенепостоянны, какследуетиз

(7.31), но становится периодической (с периодом внешней силы) функцией

Времени. Это связано с нерезонансными членами разложения (7.18).

Большие амплитуды воздействия

Здесь могут произойти даже качественные изменения описанной картины. Переход к

Синхронизация может происходить через другие бифуркации. Более того, более сложные

Могут наблюдаться режимы, включая переход к хаосу, как это обсуждается в разделе 7.3.

Важно отметить, что, хотя здесь мы рассмотрели случай малых

Форсирование, синхронизация не может быть описана в рамках линейного отклика

Теория. В самом деле, если бы физик взглянул на Ур. (7.5), первая идея - применить

метод возмущений и получить отклик в виде ряда по ε. Мыужезнаем

Ответ, и теперь можно сказать, что такой подход будет работать только вне синхронизации

Область, где квазипериодическое движение можно грубо представить как комбинацию

невозмущенных колебаний с частотой ω 0 и вынужденных колебаний с частотой

частота ω. Внутриобластисинхронизациипроцессимееттолькооднучастоту

ω, такимобразом, формальнооткликначастотевоздействиясоставляет O (1) и не может быть получен

как ряд по ε. Несостоятельностьлинейнойили слабонелинейной теории отклика происходит из-за

Особенность невозмущенных свободных колебаний, когда фаза нейтральна и

Показывает большие, O (1), отклонения при произвольном малом воздействии. Еще одно проявление

Эта особенность представляет собой довольно необычный для физической задачи вид зависимости

Наблюдаемой частоты на вынуждающей: она имеет идеально горизонтальное плато

с острыми концами, рис. 7.4b. Во многих случаях, когда такие плато появляются в физике,

Их можно объяснить с точки зрения синхронизации (см. обсуждение шагов Шапиро в

Вольт-амперные характеристики джозефсоновских переходов в разделе 4.1.8).

Стр. Решебника 211

Слабонелинейный осциллятор

189

7.2

Слабонелинейный осциллятор

В предыдущем разделе мы использовали малость принуждения для получения замкнутого уравнения

Для фазовой динамики. Как правило, периодическая внешняя сила влияет как на

Фаза и амплитуда, и этим последним эффектом пренебрегать нельзя. Во многих ситуациях

Особенно когда амплитуда колебаний и сила воздействия велики, единственное

Способ исследовать динамику - смоделировать их на компьютере. Здесь мы рассматриваем

Один важный случай, когда свойства синхронизации могут быть проанализированы в большой степени

Аналитически: мы предполагаем, что как сила, так и амплитуда самоподдерживающегося

Колебания небольшие. Малость амплитуды мы понимаем как близость

От автоколебаний к линейным; безразмерный малый параметр

Отношение периода колебаний к характерным временным масштабам амплитуды

Вариации. Наличие этого малого параметра позволяет описать проблему

С так называемыми усредненными (по периоду колебаний) уравнениями амплитуды, и

Эти уравнения универсальны. Таким образом, анализ амплитудных уравнений дает

Описание справедливо для всего класса слабонелинейных колебательных систем.

7.2.1

Уравнение амплитуды

Описанию слабонелинейных систем посвящена обширная литература.

(например, [Боголюбов и Митропольский 1961; Минорский 1962; Хаяши 1964; Найфе и

Mook 1979; Глендиннинг 1994]). Не вдаваясь в технические подробности, обозначим

Вывод соответствующих амплитудных уравнений. Метод применим

К слабонелинейным осцилляторам, т. е. к системам, которые можно представить в виде линейных

осциллятор с частотой ω 0, подверженный малым возмущениям (члены на правой стороне):

¨ х + ω 2

0 x = f (x, ˙ x) + ε p (t).

(7.36)

Это не самая общая форма возмущения, как мы предполагали, она состоит из

состоит из двух частей: нелинейная функция f (x, ˙ x) определяет свойства автономного