Частота как среднее число пересечений поверхности Пуанкаре в единицу времени.

В качестве альтернативы, фаза может быть оценена по «колебательной» наблюдаемой (x и y -

Одинаково подходит для этой цели) с помощью аналитического сигнального подхода, основанного на

о преобразовании Гильберта; этот метод особенно полезен для экспериментальных приложений.

(подробности см. в Главе 6 и Приложении A2).

–15

–5

5

15

Икс

–15

–5

5

15

y

0

10

20

z

0

50

100

Время

–10

0

10

Икс

–10

0

10

y

0

10

20

z

а)

(б)

Рисунок 10.1. Динамика системы Рёсслера (уравнения (10.2)). а) прогнозы

Странный аттрактор на плоскости (x, y) и (x, z). Пунктирная линия представляет

Сечение Пуанкаре, используемое для вычислений на рис. 10.5 ниже. (б) Временной ряд

Переменные x, y, z. Процессы x (t) и y (t) хорошо представить как колебания

С хаотически модулированной амплитудой.

Стр. Решебника 273

Фаза хаотического осциллятора

251

Нетривиальный случай: система Лоренца.

Странный аттрактор системы Лоренца

˙ х = 10 (у - х),

˙ y = 28 x - y - xz,

˙ z = − 8/3 · z + xy,

(10,4)

показанный на рис. 10.2, топологически не похож на аттрактор Ресслера. Переменная

Z (t) демонстрирует характерные хаотически модулированные колебания, но процессы

x (t) и y (t) показывают дополнительные переключения из-за очевидной симметрии (x, y) →

(- x, - y) уравнений Лоренца. В то время как колебания z довольно регулярны,

Переключений нет. Чтобы преодолеть сложности, связанные с этой смесью колебаний

и переключений, мы можем ввести симметризованную наблюдаемую u (t) = √ x 2 + y 2 и

спроецируйте фазовый портрет на плоскость (u, z), рис. 10.3. В этой проекции фаза

Портрет похож на аттрактор Рёсслера, и фаза может быть введена в

Подобный способ. Возможное сечение Пуанкаре, например, z = 27, u > 12. В качестве альтернативы, одно

можно определить угловую переменную θ (t), выбирая точку u 0 = 12, z 0 = 27 на плоскости

Рис. 10.3 как исходная и расчетная

θ = загар

− 1 ((z - z 0) / (u - u 0)).

(10,5)

–20

0

20

Икс

–20

0

20

y

0

20

40

z

0

10

20

30

Время

–15

0

15

Икс

–20

0

20

y

0

20

40

z

а)

(б)

Рисунок 10.2. Динамика системы Лоренца (уравнения (10.4)). а) прогнозы

Фазовый портрет на плоскости (x, y) и (x, z). Ни один из этих прогнозов не показывает

вращение вокруг уникального центра. (б) Временной ряд переменных x, y, z. Только z (t)

Выглядит как модулированные колебания; в x (t) и y (t) можно увидеть комбинацию

Колебания и скачки, сопровождающиеся сменой знака.

Стр. Решебника 274

252

Фазовая синхронизация хаотических систем

Опять же, эта угловая переменная дает ту же среднюю частоту, что и фаза, на основе

Отображение Пуанкаре.

Ограничения подхода

Здесь мы хотели бы подчеркнуть, что описанный выше подход довольно ограничен, и для

Во многих хаотических системах мы не можем определить фазу или фазоподобную переменную в собственном

способ. В качестве примера мы снова возьмем систему Рёсслера, но на этот раз выберем набор

параметров, отличных от используемых в (10.2); уравнения:

˙ x = - y - z,

˙ у = х + 0,3 у,

˙ z = 0,4 + z (х - 7,5).

(10,6)

Для этих параметров системы обладают так называемым аттрактором воронки, показанным на рис.

Рис. 10.4. На плоскости (x, y) трудно найти прямую, пересекающуюся трансверсально

По всем траекториям. Соответственно, во временном ряду x (t), y (t) мы видим малые и

Большие колебания, и трудно решить, какую форму волны следует учитывать

как цикл и отнесен к увеличению фазы на 2 π. АттракторРёсслера - воронка:

наверное, простейший пример системы с плохо определенной фазой. В целом мы ожидаем

Что концепция фазы вряд ли применима для многомерного хаоса со многими

Разные временные масштабы колебаний.

Здесь уместно сделать еще одно замечание. Мы хотим представить фазу как переменную

Соответствующий нулевому показателю Ляпунова системы. Нулевой показатель существует

Во всех автономных динамических системах с непрерывным временем (если аттрактор не является фиксированным

точка), и во всех таких системах есть возможность сделать маленький или большой

0

10

20

30

ты

0

20

40

z

0

2

4

6

8

10

Время

0

5

10

15

φ / 2 π, θ / 2 π

θ

φ

а)

(б)

Рисунок 10.3. (а) Динамика системы Лоренца в переменных u, z имеет вид

Размытый предельный цикл с вращениями вокруг неустойчивой фиксированной точки системы.

Пунктирной линией показана поверхность сечения z = 27, u > 12. (б) Эволюция

фаза φ наосновеотображенияПуанкаре (уравнение (10.1), пунктирнаялиния) иугол

переменная θ (уравнение (10.5), сплошнаялиния). Онисовпадаютвточках (темныекружки), где

Поверхность Пуанкаре пересекается и немного отличается по шкале времени, меньшей, чем

характерное время возврата (см. вставку в (б)).

Стр. Решебника 275

Фаза хаотического осциллятора

253

Сдвигаются по траектории, так что это возмущение не нарастает и не затухает. Точно

Это свойство важно для синхронизации, так как позволяет настраивать