Теперь рассмотрим систему Лоренца с периодической внешней силой, действующей на

колебательная переменная z:

˙ х = 10 (у - х),

˙ y = 28 x - y - xz,

˙ z = -8/3 · z + xy + ε cos ω t.

(10.11)

Эффективный шум в системе Лоренца больше, чем в системе Рёсслера, и

Фазовая синхронизация не идеальна. Зависимость разности

Наблюдаемая частота и частота внешней силы,

- ω, от ω (рис. 10.8)

Показывает плато, где

≈ ω, ноточнойсинхронизациичастотыненаблюдается.

= ω.

Чтобы проиллюстрировать тонкие особенности синхронизации системы Лоренца (см. [E.-H.

Park et al. 1999; Zaks et al. 1999]) на рис. 10.9а показана временная зависимость

угловая переменная θ, определеннаясогласноформуле. (10.5). Длябольшихинтерваловвременимынаблюдаем

Запирание под действием внешней силы, но эти интервалы перемешаны со сдвигами фаз.

Таким образом, фазовая динамика системы Лоренца напоминает динамику периодической системы.

Генератор возмущен неограниченным шумом: скольжения можно наблюдать при любой расстройке. 2

Отличие от случая гауссовского шума состоит в том, что вероятность наличия

Положительное скольжение больше, чем отрицательное, и это приводит к отклонению

Наблюдаемая частота

из ω. ЭтаособенностьсистемыЛоренцаследуетиз

Отметим, что фазовую динамику системы Рёсслера можно рассматривать как аналогичную динамике

Периодический осциллятор с ограниченным шумом: нерегулярные по времени сдвиги фазы наблюдаются на

Границы области синхронизации и не появляются в ее середине.

–15

–5

5

15

Икс

–15

–5

5

15

y

–15

–5

5

15

Икс

а)

(б)

Рисунок 10.7. Стробоскопические графики принудительной системы Рёсслера. а) внутри

области синхронизации (ε = 0,16, ω = 1,04) фазысосредоточенывмалой

домен. (б) В несинхронизированном состоянии (ε = 0,16, ω = 1,1) фазыразбросаны.

Автономный аттрактор показан на заднем плане серым цветом. Эквивалентно сюжет

Можно рассматривать как распределение состояний в ансамбле одинаковых рёсслеровских

Системы, движимые общей силой.

Стр. Решебника 280

258

Фазовая синхронизация хаотических систем

карта Пуанкаре и распределение времен возврата показаны на рис. 10.5b. Можно

видим, что возможна длинная последовательность итераций с малыми u (u ≈ 15), прикоторых

Время возврата невелико. Во время этих итераций фаза осциллятора опережает фазу

Сила; в результате наблюдаемая частота немного больше, чем движущая (см.

подробности в [Zaks et al. 1999]).

На рис. 10.9b фазовая динамика принудительной системы проиллюстрирована строчкой.

Боскопический портрет: большинство точек сосредоточено в небольшой части фазы

Пробел, но есть еще и запаздывающий хвост. В конце концов, некоторые моменты делают

Дополнительные повороты по отношению к внешней силе, а некоторые из них пропускают один

Или несколько; точки распространяются по аттрактору, хотя их распределение остается

Неоднородный.

Косвенная характеристика синхронизации

До сих пор мы характеризовали синхронизацию посредством прямого вычисления

Частота. Это возможно для систем с четко определенной фазой, таких как Rössler

(Уравнения (10.2)) или системы Лоренца (уравнения (10.4)), но могут быть трудными и неоднозначными

Если фаза некорректно определена, как в случае системы Рёсслера с воронкообразным аттрактором (см.

Уравнения. (10.6) и рис. 10.4). В этом отношении полезно изображать синхронизацию без

Любая ссылка на конкретное определение фазы. Основная идея заключается в том, что начало

Синхронизация означает появление согласованности между хаотическим процессом и

Внешняя сила. Когерентность проявляется в спектре мощности колебаний.

И в коллективной динамике ансамбля идентичных систем, движимых одним и тем же

Сила. Это предполагает два подхода к косвенной характеристике уноса

Хаотический осциллятор под действием внешней силы.

8.0

8,2

8,4

8,6

ω

–0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

Ω − ω

Рисунок 10.8. Синхронизация в системе Лоренца: наблюдаемая частота в зависимости от

внешняя частота при относительно большой амплитуде воздействия ε = 10. Наплато

8.2 ≲ ω ≲ 8.5 естьнебольшоерасхождение

- ω ≈ 0,005 из - засдвиговфазы (см.

Рис. 10.9).

Стр. Решебника 281

Синхронизация хаотических осцилляторов

259

Обычно спектр мощности хаотической системы имеет широкополосную составляющую и

Пик на средней частоте колебаний; 3 этот пик очень узок для «хороших»