Сетки и сеточные функции. Вводные понятия

Одним из эффективных методов приближенного решения уравнений являются метод сеток или разностный метод. Область непрерывного изменения аргументов заменяется дискретным множеством точек, которое называется сеткой. Функции, определенные в узлах сетки называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и граничные условия, меняются на разностные производные. Краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Такие системы называют разностными схемами. Остановимся подробно на основных понятиях теории разностных схем.

Одномерный случай. Сеткой  на отрезке

называется любое конечное упорядоченное множество точек этого отрезка. Чаще всего будет использоваться равномерная сетка вида:

       . Здесь h = (b – a) / N - шаг сетки.

       Двумерный случай. Для прямоугольника G ={ a ≤ x ≤ b; c ≤ y ≤ d } равномерную сетку определим как:   , где

и . Здесь

h ₁ = (b – a) / N ₁ и h ₂ = (d – c) / N ₂ - шаги по переменным x и y. Если h₁ = h ₂ , то сетка называется квадратной, иначе – прямоугольной. В общем случае сетка может быть неравномерной.

       Рассмотрим понятие сеточной функции. Пусть   - сетка, введенная в одномерном случае, а  х _i - узлы сетки. Функция y = y (x _i) дискретного аргумента х _i  называется сеточной функцией, определенной на сетке      . Аналогично определяется сеточная функция на любой сетке. Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки.

       Пусть задана сетка  Множество всех сеточных функций, заданных на сетке   , образует векторное пространство. В пространстве сеточных функций можно определить разностные или сеточные операторы.

       Оператор  , преобразующий сеточную функцию у в сеточную функцию  

f = y, называется разностным или сеточным оператором.  Множество узлов сетки, используемое при написании разностного оператора, называется   шаблоном этого оператора. Простейшим разностным оператором является оператор разностного дифференцирования сеточной функции.

       Рассмотрим задачу о приближенном вычислении производных функции u (x), определенной на отрезке Будем считать, что функция u (x) обладает определенной степенью гладкости, тогда разностные производные первого порядка на сетке   для функции u (x) находятся по следующим формулам:

        - правая,     - левая и  - центральная разностные производные функции в узле x_i. Если точка x_i

фиксирована, а шаг   h стремится к нулю, то каждое из разностных отношений

стремится к значению производной функции u (x) в точке x_i  . Заметим, что заменить производную можно любым разностным отношением, но порядок погрешности при такой замене будет разным.

       Разностные производные старшего порядка можно ввести по реккурентным формулам. Если в формулах разностной производной первого порядка вместо значений функции в узле сетки использовать значение разностной производной,то получим формулы для вычисления разностной производной второго порядка, например:

       Разностная производная второго порядка не единственная. Аналогично строятся разностные производные любого порядка.

       Приведены примеры простейших аппроксимаций дифференциальных выражений разностными на равномерной сетке. И общем случае погрешность зависит как от распределения узлов сетки, так и от гладкости функции. 

       Дальнейшее изложение посвящено построению и исследованию разностных краевых задач для модельных уравнений математической физики.

Построение разностных схем