Исследование устойчивости в случае несамосопряженного оператора

 

    Как правило, дискретизация пространственных производных первого и второго порядка приводит к несамосопряженным операторам. Например, в задачах диффузии – конвекции, конвективная часть задачи порождает несамосопряженный оператор.

    Рассмотрим частный случай схемы с весами с несамосопряженным оператором.

(1)

(2) , .

  - весовой параметр.

 

Достаточное условие устойчивости по начальным данным с .

Теорема 1

Схема (1), (2)  - устойчива с , если

1. оператор  имеет обратный, т.е. существует оператор

(3) . Достаточным условием является .

2.  выполняется неравенство

(4) .

    Для начала докажем вспомогательное утверждение.

Пусть заданы два перестановочных оператора  и , такие, что  и существует обратный оператор . Тогда операторы  также являются перестоновочными, т.е.

(5)

     умножим слева на , тогда , обозначим , тогда . Элемент  произвольный за счет выбора .

Доказательство:

    Для задачи (1) требуется доказать оценку .

Надо получить: , а, следовательно, и . Т.е. надо доказать

(6)  при выполнении (3), (4).

 - оператор перехода от  к , т.е. .

    Далее задача (1), (2) будет записана в канонической форме двухслойных схем, а именно:

;

;

.

Итак, оператор .

С учетом (6) мы хотим доказать (4).

.

Вычислим

.

Очевидно, соотношение (7), с учетом (6) приводит к неравенству:

.

(8) .

Так как , то операторы  перестановочные  - перестоновочные.

Неравенство (8) запишется

.

Введем вектор , тогда

,

,

 что и требовалось доказать.

    Получим, что если , то выполняется (4) с .

Замечание.

1. Заметим, что неравенство (4) выполняется, если . В частности, если оператор , т.е. кососимметрический, то (4) выполняется для любого параметра .

2. Условие обратимости оператора  может оказаться достаточно жестким в случае произвольного оператора . В случае . Если оператор  незнакоопределен, тогда вопрос обратимости оператора  решается на основе известной теоремы функционального анализа:

 

Теорема.

    С – оператор из банахова пространства в банахово. Е и С – линейные операторы. Оператор  имеет обратный оператор , если . При этом выполняется оценка: .

    В нашем случае .

, что является жестким ограничением на шаг по времени.

И в случае явной схемы для уравнения теплопроводности .

Если использовать неравенство , то  

    Иногда обратимость оператора В является более жестким ограничением на шаг по времени, чем условие (4).

 

Пример 1.

Рассмотрим уравнение теплопроводности.

(*)

поставим в соответствие непрерывной задаче дискретную задачу:

(**)

    Дискретную задачу можно записать в операторной форме для уравнения с весами с несамосопряженным оператором.

.

Оператор .

Заметим, что

1. ;

2. было вычислено соотношение

(9)    .

 -гильбертово пространство сеточных функций, определенных на сетке , таких, что обращаются в ноль при i=0.

    Формула (9) может быть преобразована, если учесть что .

.

    Получили

(10) , .

Можно воспользоваться неравенством (4).

,

 неравенство выполняется для любых  тогда и только тогда, когда , получим,

, из этого неравенства получаем допустимые .

__________________________________________________________

‼  Доказать самостоятельно что схема при  имеет порядок аппроксимации .

__________________________________________________________

 

    На практике очень часто встречаются схемы вида:

(11)

(12) .

.

    Если  то мы получаем схему с весами (1), (2) из теоремы 1.

    Введем пространство  в котором норма унифицирована оператором .

(13) .

    Сформулируем теорему о равномерной устойчивости с  - устойчивостью для схемы (11), (12) с .