Введение в метод конечных элементов

       Метод конечных элементов носит название вариационно-разностного метода. Реже встречается его другое название как проекционно-сеточный метод.

Этот метод применяют в случае сложной геометрии области, где ищется решение задачи, также является наиболее естественным, когда исходная задача имеет вариационную формулировку.

 

§1

Кусочно-линейные восполнения сеточных функций.

    Фактически с кусочно-полиномеальными восполнениями мы имели дело при рассмотрении интерполирования, когда разговор шел о сплайнах.

Поставим задачу.

Пусть  - непрерывная функция на отрезке . Построим, в общем случае, не равномерную сетку . Пусть в узлах сетки заданы значения функции .

Необходимо построить кусочно-линейную, т.е. линейную на каждом отрезке, функцию , которая в узлах сетки совпадает с исходной функцией , т.е. .

    Рассмотрим два способа построения неизвестной функции.

1-й способ построения функции .

.

(1) ,

,

.

Функция  не имеет производных в точках , но в точках  имеются односторонние производные и можно разумным способом доопределить полную производную в этих точках.

2-й способ построения функции .

Этот способ связан с введением базисных функций.

 

Построим базис.

 (2)

(3) .

___________________________________________________________________________________________________

‼  Доказать, что построенная система функций линейно не зависима, т.е. любая линейная комбинация равна нулю только тогда когда все коэффициенты равны нулю на отрезке [a,b]. Показать, что все функции базиса квадратично интегрируемы, т.е. .

___________________________________________________________________________________________________

 

  Построенная система функций является базисом в классе кусочно-линейных функций, определенных на отрезке [a,b] у которых углы наклона могут меняться только в узлах сетки.

Очевидно, что

(4) .

Особо выделим случай финитных функций: , тогда:

(5) .

  В дальнейшем нам пригодятся производные, вычислим их.

(6)

  Удобство формул (2), задающих базисные функции состоит в том, что носитель функции составляет существенно малую часть от области определения функции.

  Для дальнейшего нам потребуются леммы, которые позволяют оценить среднеквадратичное уклонение функции от  в зависимости от гладкости функции и шагов сетки.

Лемма 1

  Пусть функция , т.е. . Тогда имеет место неравенство: (7) .

Доказательство:

Рассмотрим на интервале  выражение вида .

.

  Итак, получено равенство:

(8) .

  Возведем равенство (8) в квадрат и проинтегрируем.

(9) .

Оценим следующее выражение:

применим неравенство Коши – Буняковского:

.

 Итак, была получена оценка

.

Вернемся к равенству (9).

.

Из последнего неравенства получаем,

.

Взяв , затем суммируя полученное равенства по , мы получаем неравенство (7).

Лемма 2 Оценка среднеквадратичного отклонения функции  от .

  Пусть функция , т.е. . Тогда имеет место оценка:

(10) .

Доказательство:

Имеет место тождество

откуда следует равенство (10).

___________________________________________________________________________________________________

‼  Получить аналог оценок (7) и (10) в равномерной метрике .

___________________________________________________________________________________________________

§2