Неявная схема для уравнения теплопроводности

 

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.

.                        (1)

.                                        (2)

.                     (3)

Согласование начальных и граничных условий:

.

Поставим в соответствие задачи (1), (2), (3) неявную схему (4), (5), (6).

Неявная схема.

(4)

.                                        (5)

.                      (6)

    Система (4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трех диагональной матрицей; главная диагональ имеет вид: . Матрица симметрична и обладает свойством строго диагонального преобладания.

    Граничные условия (6) могут быть учтены в векторе правых частей.

.

Правая часть будет иметь вид:

.

    Поскольку матрица А имеет строго диагональное преобладание, то задача (4-6) однозначно разрешима.

    Погрешность аппроксимации задачи (4-6) на решении задачи (1-3) будет исследована ниже в случае схемы с весами.

    Исследуем устойчивость построенной схемы методом гармоник.

Как и ранее будем искать решение задачи (4-6) с нулевыми граничными условиями и нулевой правой частью в виде:

.                                                    (7)

Подставим (7) в (4):

,

,

так как                             ,

то получаем:

.

.

Очевидно, что

.

Сравним полученные результаты для явной и неявной схем.

Явная схема устойчива, если , неявная схема устойчива для любых шагов по времени и по пространству.

Схема с весами

 

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами.

.                        (1)

.                           (2)

.                    (3)

Согласование начальных и граничных условий:

.

Для уравнения теплопроводности схема с весами имеет вид:

.                                                                                 (4)

 - числовой параметр:

.                                                      (5)

.                      (6)

Согласование начальных и граничных условий:

.                                 (7)

Получим задачу для погрешности решения.

Подставим

в (4, 5, 6).

. (8)

.                                                  (9)

.                              (10)

Задача (8-10) поставлена.

Задача (8) по своей структуре (по результату действия оператора левой части уравнения) аналогична задаче (4), если (4) переписать в виде:

.                                                   (4′)

Отличия возникли в правых частях у задачи (4′) это , у (8) – погрешность аппроксимации разностных уравнений (4) на решении непрерывной задачи (1, 2, 3).

Исследуем эту погрешность аппроксимации, предполагая, что разностная схема (4, 5, 6) устойчива.

______________________________________________________________

‼ Исследовать условия устойчивости для задачи (4 - 6) методом гармоник.

______________________________________________________________

 

Исследуем погрешность аппроксимации.

.           (11)

.

.                                    (12)

Аналогично:

.                             (13)

Подставим (12), (13) в (11).

.                                                                                        (14)

Разложим функции, стоящие в фигурных скобках по переменной  в окрестности  в ряд.

.                  (15)

.                  (16)

.                                (17)

.                                (18)

.

.                                                     (19)

Подставим (15)-(19) в (14).

.

Пусть ;

.

.                                                                                              (20)

Из полученного представления видно, что при погрешность аппроксимации

.

В частности, если , то  - симметричная схема с весами.

Если  имеем явную схему, для которой

.

Если  имеем неявную схему, для которой .

Воспользуемся следующим равенством:

.                                               (21)

                                                               (22)

подставим (22) в (20):

.

       Преобразуя выражение получаем:

.           

Будем считать, что

.

 (23)

Выберем итерационный параметр  так, чтобы первое слагаемое обращалось в ноль.

.

Следовательно,

.

При таком итерационном параметре мы имеем схему повышенного порядка аппроксимации.

______________________________________________________________

‼ Существуют ли такие значения итерационного параметра , при которых погрешность аппроксимации ?

______________________________________________________________

 

Были рассмотрены двухслойные разностные схемы. Для уравнений гиперболического типа используют трехслойные разностные схемы.