Построение энергетической эквивалентности оператора второй разностной производной с переменными коэффициентами

 

       До сих пор мы рассматривали простейшие операторы, не зависящие от пространственных переменных. На практике это редко встречающаяся ситуация. Поэтому получим оценки  для оператора разностной производной второго порядка с переменными коэффициентами.

;

.

В двумерном случае рассматривается задача Дирихле.

;

,

В этих задачах мы приходим к оператору второго порядка с переменными коэффициентами.

(1)  .

Будем использовать:

(2)  .

Получим по возможности более точные оценки вида:

(3)  , где константы  и не могут быть улучшены.

Опр. 1

       Постоянные  в неравенстве (3) называются постоянными энергетической эквивалентности или энергетическими постоянными.

       Воспользуемся первой разностной формулой Грина для финитных сеточных функций.

(4)  .

В соответствии с (4), скалярное произведение (2) запишется в виде:

(*)

. В соотношении (1), если иметь в виду аппроксимацию ОДУ II-го порядка .

Следовательно, , тогда:

(*)

Воспользуемся еще раз формулой (4) в которой , прочитав ее справа на лево и умножив на (-1).

.

Вспомним оценку сверху для , т.е.

(5)  , тогда

       .

Итак, получили оценку:

(6)  .

Будем считать, что  - точная константа в (5).

 ___________________________________________________________

??   Можно ли улучшить оценку (6), уменьшив .

‼    Получить самостоятельно оценку снизу  (7).

___________________________________________________________

 

(7)  , где .

Приведем без вывода соответствующие оценки – укажем постоянные энергетической эквивалентности для оператора (двумерный случай):

(8)     (8) - дискретный аналог (9):

(9)  ;      .

(10) , где

(11) ,

(12)

(13) , где

(14)

___________________________________________________________

‼    Получить самостоятельно оценки для: а)  и ; б) уточнить формулы (12) и (13).

___________________________________________________________

Корректность операторно-разностных уравнений

 

Общие сведения

 

Построенные разностные аналоги краевой задачи для ОДУ II-го порядка, а также задачу Дирихле для уравнения Пуассона, могут быть представлены в виде операторного уравнения:

(1) .

Здесь  - известная функция правой части из гильбертова пространства сеточных функций,  - искомая сеточная функция, которая может считаться финитной при соответствующем переопределении граничных условий и правой части.

,

,

,

.

Пусть нормы  и  - нормы, введенные на пространстве функций, являющихся решением (1), норма  для , а норма  введена на пространстве функций, являющихся правыми частями в (1), т.е. для .

В простейшем случае эти нормы могут совпадать.

    Можно считать, что решение – это множество финитных функций.

Опр. 1

       Операторное уравнение (1) называется корректным, если:

1. решение задачи (1) существует и единственно для всех  - семейство функций;

2. для любой пары  существует , не зависящая от , такая, что выполняется неравенство:

(2) .

Гильбертово пространство финитных функций обозначим .

С пунктом 2) определения корректности, мы встречались ранее, называя его условием устойчивости по правой части. Новым здесь является то, что в левых и правых частях 2) могут фигурировать разные нормы, а также граничные условия, если они есть, учтены в правой части. Неравенство (2) означает, что малым изменениям входных данных соответствует малое изменение возмущений. Т.е. малое по норме изменение функции  приводит к малому изменению нормы .

В формулировке, как и ранее, подразумевается линейность и ограниченность оператора .

Докажем последнее утверждение, т.е., на ряду с задачей (1) рассмотрим задачу (3):

(3) .

Вычтем из (3) (1), получим

, операторы задач (1), (3), (4) совпадают.

(4)  .

.

Поскольку , то, следовательно, .