Следствие 4. Сеточный принцип максимума.

Однородное уравнение с неоднородными граничными условиями , , , где  - заданная функция из исходного семейства обладает свойством:    ,

 т.е. максимальное по модулю значение функции  являющейся решением задачи (2), (3) достигается на границе  сетки .

Доказательство.

    Результат прямо следует из теоремы 1, т.к. для задачи (2), (3) справедливы одновременно случай 1) и 2) теоремы 1.

1) , следовательно наибольшее положительное значение достигается на границе сетки .

2) , следовательно наименьшее отрицательное значение достигается на границе сетки .

    Также для следствия 1 можно сформулировать его аналог для .

Следствие 1′.

Пусть дано однородное уравнение из исходного семейства вида:

(4) , с граничным условием Дирихле:

(5) , .

Тогда решение задачи (4), (5) не положительно на , т.е. .

Теорема сравнения. Мажоранта

Теорема 2.

Пусть поставлена задача (I) с уравнением из исходного семейства вида:

(1) ;

(2) .

А также поставлена задача (II):

(3) ;

(4)

и выполняются неравенства:

(5′) ,

 то

( 5)

Замечание.

Введем обозначение: , .

Т.о. неравенство (5) можно переписать в виде:      .

Задачу (3), (4) называют мажорирующей по отношению к задаче (1), (2).

 - мажоранта по отношению к .

Доказательство.

Зададим сеточные функции:

(6) ;

(7) .

Нетрудно видеть, что

В силу линейности оператора , получаем:

(8)  

(9) .

Задача с учетом (8), (9) может быть записана в виде:

(10) ;

(11) .

Задача (10), (11) удовлетворяет следствию теоремы 1:

 в силу (5′), и граничное условие .

Следовательно, .

Аналогично функция .

Вычитая (1) из (3), (2) из (4), и пользуясь линейностью оператора, получаем:

(12) ;

(13) .

Таким образом, получаем аналогичную задачу для функции .

Итак

(14) ,  с другой стороны

(15)

, что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы сравнения

 

Следствие 1.   Оценка решения однородной задачи.

Пусть поставлена задача из исходного семейства:

(1) ;

(2)

Тогда для нормы решения этой задачи справедлива оценка:

(3) ,

также справедлива оценка:

Доказательство.

Для задачи (1), (2) построим мажорирующую задачу вида:

(3.1) ;

(4) ;

правые части (3.1) и (1) удовлетворяют неравенству:

, по теореме сравнения .

Если удастся доказать, что , то требуемый результат будет доказан.

Воспользуемся следствием 4 из теоремы 1, в соответствии с которым для задачи (3.1),  (4) справедлива оценка:

 и следовательно, .

    Доказательство проведено в условиях применимости теоремы 1, т.е. . Рассмотрим в данном следствии второй случай, когда .

В силу равенства (4) и из последнего равенства получаем, что , что и требовалось доказать.

Более того, можно доказать,что если поставлена задача (3.1), (4), взяв обобщение (4)

 и , будет следовать, что .

    Доказанное следствие будет далее использовано для оценки решения неоднородного уравнения с оператором вида:

(5) ,

(6) .

Решение задачи (5), (6) может быть получено в виде двух функций:

,

где  - решение задачи:

(7) ;

(8) ,

 - решение задачи:

(9) ;

(10) .

    Поскольку оценка для задачи (7), (8) была получена в следствии 1, то перейдем к оценки решения задачи (9), (10).

Оценка решения неоднородного уравнения