Каноническая форма общего вида для сеточного уравнения

 

Разностная схема, аппроксимирующая задачу Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике:

(1) ;

(2) .

В предыдущем параграфе была записана в канонической форме:

Напомним, что сеточные уравнения имеют следующий канонический вид:

(3) ;

(4) ..

Сравнивая с (3), получаем:

,

,               .

Очевидно, что

(6) .

Разностное условие (4) можно трактовать, как частный случай записи (3) в которой , если , в этом случае .

Возможна и другая трактовка граничного условия (4).

 - произвольные положительные числа,

, .

Кроме того, сеточное уравнение (3) в канонической форме может быть записано в виде:

(3′) .

    Формально граничные узлы сетки можно определить двумя способами (в случае условия Дирихле):

1. те узлы сетки, значения в которых  задано, образуют множество .

2. .

 

Принцип максимума

Напомним определение связности сетки.

Опр.               

Сетка  называется связной, если  найдется множество узлов: , что выполняется:

(7) .

Некоторые из этих точек, попадающих в окрестность, могут быть и граничными.

Теорема 1. Принцип максимума.

Пусть для сеточной функции   не являющейся тождественной константой для любых  выполняется:

1. , (считаем, что  сеточный оператор с коэффициентами, удовлетворяющими условию (5), а сетка  -связная), тогда сеточная функция  не может достигать наибольшего положительного значения во внутренних узлах сетки.

2. , тогда сеточная функция  не может достигать наименьшего отрицательного значения во внутренних узлах сетки.

Доказательство.

Предположим противное: существует такая точка . Тогда найдется хотя бы одна точка .

Так как , среди всех  зафиксируем .

В силу связанности сетки существует конечное множество узлов:

.

Рассмотрим уравнение (3′) в точке .

(8) .

В силу (5, 6):  в силу (5): .

Если использовать «сильное» определение, то точка  - точка в которой сеточная функция достигает наибольшего значения, то , то неравенство (8) не выполняется, т.к. , а .

Более интересным является применение другого «слабого» определения наибольшего значения:  - точка в которой сеточная функция достигает своего наибольшего значения, то  при условии, что найдется хотя бы одна точка .

Будем ориентироваться на это более содержательное определение.

Тогда , , следовательно . Выберем точку  в качестве центра шаблона.

Имеем: .

Так как , то . Следовательно, .

Аналогично проделав для остальных узлов неравенства (3′) тоже самое, приходим к цепочке равенств: .

Теперь рассмотрим левую часть неравенства (8).

.

Полученное неравенство противоречит предположению .

Следствия из принципа максимума

Следствие 1.

Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, кроме одного  может быть тождественной константой на сетке.

Сеточная функция , заданная  неотрицательна на границе , т.е.  и имеет место .

Тогда функция .

Доказательство.

1. Пусть ;

2.

    Рассмотрим первый пункт.

Выберем в качестве точки  так называемый приграничный узел, т.е. .

Рассмотрим уравнение (3′) в точке .

(9)

1) , тогда , т.к. .

2) , тогда ,

, .

Отсюда вытекает, что левая часть (9) отрицательна, что противоречит условию, что .

    Рассмотрим второй пункт.

Пусть существует точка , тогда в силу предыдущей теоремы 1 , следует, что нет такой точки .

Если точка  не единственная точка сетки, в которой значение функции отрицательно, то среди всех этих точек  следует выбрать такую точку, что , которая удовлетворяет неравенству. Если  не одна, то выбирается любая.

Следствие 2.

Однородное уравнение с однородными граничными условиями , ,  имеет только тривиальное решение.

Доказательство.

Из теоремы

1)         

, если ;

2)  

 , если

Из 1) и 2) следует, что  и , следовательно .

Следствие 3.

Исходное сеточное уравнение   при условии, что выполняются ограничения (5), (6), а   также сетка связная, имеет единственное решение.

Это следствие вытекает из известной теоремы алгебры, т.к. соответствующая однородная система  имеет тривиальное решение в силу следствия 2, следовательно неоднородная система имеет единственное решение.

Опр.                    

Сеточное уравнение вида:

(1)

будем называть уравнением, а оператор L – оператором из исходного семейства, если (1) определено во внутренних узлах сетки , а  - связное множество относительно шаблона.