Энергетический метод исследования устойчивости

Энергетический метод исследования устойчивости является наиболее универсальным исследования операторно-разностных уравнений. Во многих случаях этот метод дает необходимые и достаточные условия устойчивости по входным данным: правой части, начальные и граничные условия. Поэтому метод накладывает определенные требования на оператор задачи: положительность оператора, самосопряженность оператора.

Поэтому возникает необходимость привести краткие сведения из теории операторов, действующих в линейных нормированных пространствах.

Некоторые сведения из теории операторов

    Предполагается известным понятие линейного нормированного пространства на множестве действительных чисел.

    Первой реализацией линейного нормированного пространства является евклидово пространство, т.е. линейное пространство над полем действительных чисел, в котором введено скалярное произведение. Наличие скалярного произведения позволяет ввести метрику, задаваемую этим скалярным произведением.

    Для нас интересным будут евклидовы пространства полные в смысле нормы, порождаемой скалярным произведением в этом пространстве.

Пусть Н – гильбертово пространство: .

Пусть есть пара гильбертовых (или евклидовых) пространств  и , и оператор .

Опр. 1

    Оператор  называется сопряженным к , если  и для любых  выполняется: .

Если сопряженный оператор  совпадает с исходным оператором, то оператор  называется самосопряженным.

Необходимое и достаточное условие самосопряженности оператора

    Для самосопряженности оператора  необходимо и достаточно, чтобы в пространстве существовал ортонормированный базис, построенный из собственных векторов оператора .

    Будем рассматривать линейные ограниченные операторы.

1) Линейность оператора:

,  - числа.

2) Ограниченность оператора

Что существует такая константа ,  что: .

    Пусть  - линейный оператор, действующий . Для того, чтобы линейный оператор  существовал и был ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы для элемента существовала такая константа , не зависящая от , для которой выполнялось неравенство: . При этом справедлива оценка: .

    Далее будем рассматривать линейные ограниченные операторы А, В, С, D, действующие из Н в Н.

Знакоопределенные операторы

Опр. 2

    Оператор  называется неотрицательно определенным, если , положительным, если .

Опр. 3

    Оператор  называется положительно определенным, если  существует такая константа , не зависящая от , такая, что выполняется неравенство: .

    В случае, когда  конечномерное пространство, то определения 2 и 3 эквивалентны.

Опр. 4

    Оператор  называется кососимметрическим, если , т.е. .

    Любой линейный ограниченный оператор можно представить в виде суммы его кососимметрической и самосопряженной части.

.

Очевидно, что если , то  и энергию оператора , можно ввести как отношение неравенств на пространстве линейных операторов.

1) , если ,

2) , если .

    Введенное отношение типа неравенства на множестве линейных операторов приводит к естественным следствиям.

1. ;

2. ;

3. ,  - число.

4. Кроме того, справедливо утверждение: если , то оператор  существует и ограничен.